Kapitel Stetigkeit. Zeige: Es existiert ein x in [a,b] sodass f(x)=x

Question

Aufgabe:

Sei f: [a,b] -> [a,b] eine monoton wachsende Funktion. Dann es existiert ein x in [a,b] sodass f(x)=x.

Problem/Ansatz:

bitte helfen sie mir mit eine mögliche Idee oder Satz die ich verwenden kann.

Vielen Dank im Voraus.

Comments

Wenn nur Monotonie und keine Stetigkeit vorausgesetzt ist,

dann ist der Satz falsch.

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es ist nur die Monotonie vorausgesetzt aber es ist nicht mit [a,b] angegeben sondern mit [0,1] als Intervall. Aber ich hab gedacht dass es gleich ware.

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Wie mathef schon gesagt hat, ist der Satz dann falsch. Gegenbeispiel:

\( f: [0,1]\to[0,1], x \mapsto \begin{cases} \frac{1}{4}x &\text{falls } x \lt \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4}x+\frac{3}{4}&\text{falls } x\geq\frac{1}{2} \end{cases} \)

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Ist hier nicht ƒ(0)=0 ?

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@mathef: Warum soll der Satz falsch sein?

Answer 1

Sei $$M:=\{x \in [a,b] : f(x) \leq x\} $$ und $$ s:=\text{inf}\, M\in [a,b].$$ Die Menge M ist nichtleer, da b in M liegt, sowie nach unten beschränkt. Also existiert das Infimum.

Sei s>a.

Es existiert eine monoton fallende Folge $$(x_n)$$ in M, die gegen s konvergiert. Für alle positiven t mit $$s-t\in [a,b]$$

gilt $$s-t < f(s-t).$$

Da f monoton wachsend ist und die Folge in M liegt, gilt

$$s-t < f(s-t) \leq f(s) \leq f(x_n) \leq x_n \rightarrow s \; (n\rightarrow \infty )$$

für alle positiven t mit $$s-t\in [a,b].$$

Hieraus folgt $$s \leq f(s) \leq s, $$ also $$f(s)=s.$$

Der Fall s=a läuft ähnlich.

Dies zeigt, dass ein x in [a,b] existiert mit f(x)=x.

Answer 2

Vielleicht kann man das mit einem Widerspruchsbeweis lösen.

Ich betrachte statt [a;b] das Intervall [0;1].

Angenommen es gibt kein x mit f(x)=x in diesem Intervall und wir versuchen eine monotone Funktion f auf diesem Intervall zu finden.

Sei f(0)=r mit 0<r≤1. Dann gilt r>0, f(0)≠0 ist. Für alle x mit 0<x<r gilt dann f(x)≥r>x.

Sei f(r)=s mit r<s≤1. Dann gelten die eben genannten Überlegungen entsprechend.

Es muss daher f(x)>x für aller x-Werte im Intervall[0; 1] gelten. Damit auch f(1)>1. Der Funktionswert würde außerhalb des vorgegebenen Intervalls liegen, was zum Widerspruch führt.

Answer 3

Problem mit Beweis der Stetigkeit

Kannst du deine Überlegung zum Zusammenhang mit der Fragestellung noch präzisieren.

Als Tag hätte ich jetzt eher monoton und fixpunkt erwartet als deine Stichwortsammlung.

EDIT: Habe Überschrift und Tags bearbeitet.

Comments

stimmt voll, aber es ist eine Aufgabe der Kapitel der Stetigkeit deshalb.

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Dann schau mal das ganze Kapitel zur Stetigkeit durch. Vielleicht steht da irgendwo: "Ab jetzt setzen wir in diesem Kapitel voraus, dass die betrachteten Funktionen stetig sind." 

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nein es ist nicht vorausgesetzt. nur monotonie ist vorausgesetzt.

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Die Behauptung könntest du widerlegen, wenn du eine monoton steigende Funktion in das [0,1] x [0,1] Quadrat malen könntest, die die Diagonale nirgends schneidet.

~plot~ x=1;x;1;[[-1|3|-1|2]] ~plot~

Probier das mal. Die Funktion darf Sprünge machen. Aber: Jeder x-Wert muss einen zugeordneten y-Wert haben.

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ich weiss nicht wieso ich kann mit eine Gegenbeispiel eine Existenzquantor (wie es in meine Beispiel ist) wiederlegen.

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Wenn es eine Funktion ohne Fixpunkt gibt, dann hat sie keinen Fixpunkt. Damit ist die Existenz widerlegt.

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Sei f: [a,b] -> [a,b]

Wie müsst ihr das hier lesen?

Definitionsbereich ist [a,b]
Wertevorrat ist [a,b]

oder vielleicht

Definitionsbereich ist [a,b]
Bildbereich ist [a,b]

Sollte Bildbereich gemeint sein, darf kein Wert im Intervall [a,b] fehlen und die Sache sieht anders aus. D.h. die Behauptung stimmt.

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Definitionsbereich ist [0,1]

Bildbereich [0,1]

es ist sicher dass die Behauptung stimmt mein Problem ist eine passende Beweis zu finden. Ich glaube es geht mit dem Supremum der Menge {x in [0,1] : f(x) >= x} aber ich hab keine Ahnung wie man dann weiter geht.

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Bildbereich [0,1]

Sicher? Steht denn irgendwo, dass f surjektiv ist und alle Werte in [0,1] auch Bildwerte sind? Dann dürfte die Funktion gar nicht springen und es müsste gelten f(a) = a und f(b) = b (deine Verallgemeinerung). Beweisende.

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Selbst, wenn die Funktion nicht surjektiv sein muss, ist es mE ausgeschlossen, dass man die Funktion so definieren kann, dass sie auf dem ganzen Definitionsbereich monoton steigend ist und keinen Fixpunkt hat, d.h. nirgends y = x schneidet.

Hier nochmals, was ich von dir als Skizze gern gesehen hätte:

Hellblau ist noch nirgend mit rot kollidiert. Kollision lässt sich aber nicht vermeiden, dann der Definitionsbereich ist noch nicht ausgenützt.

Genauer: Auch die Lücke müsste ungefähr horizontal gefüllt werden. Da ist die rote Linie "im Weg". 

Im Link von Abakus steht als Hinweis, dass man g(x):= f(x) - x betrachten soll. Das brauchst du vielleicht gar nicht. 

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Im Kapitel Stetigkeit kann es durchaus auch unstetige Funktionen geben.

Die Aussage ist wahr und lässt sich auch beweisen.

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Richtig. Vgl. meine Skizze in den Kommentaren und dein Beweis, den du mit Folgen (und Infimum) geführt hast.