Beispiel.
\(\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 5 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 8 \end{pmatrix}\)
Jede Spalte, in der keine neue Stufe anfängt, bekommt einen Parameter
\(\begin{aligned} x_{6} & =p\\ x_{4} & =q\\ x_{2} & =r \end{aligned}\)
Die Variablen der restlichen Spalten werden in Abhängigkeit der Parameter dargestellt. Dazu überlegt man sich, wie die Gleichung lautet die der Zeile der jeweiligen Stufe entspricht und formt diese Gleichung um.
\(\begin{aligned} x_{5} & =-8p\\ x_{3} & =-7p-5q\\ x_{1} & =-4p-3q-2r \end{aligned}\)
In Vektorschreibweise
\(\begin{aligned} \begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}\\ x_{5}\\ x_{6} \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}-4p-3q-2r\\ r\\ -7p-5q\\ q\\ -8p\\ p \end{pmatrix}\\&=p\cdot\begin{pmatrix}-4\\ 0\\ -7\\ 0\\ -8\\ 1 \end{pmatrix}+q\cdot\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ -5\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}\)
Damit hast du eine Basis des Kerns der Matrix.
