Aloha :)
Frei nach unserem Wirtschafsminister würde ich sagen, das \(z\) fehlt nicht, es ist nur \(0\)-mal vorhanden. Schreibe also einfach den Faktor \(0\) vor das \(z\). Dann trage alle in ein Schema ein und erzeuge durch elementare Zeilenumformungen so viele Spalten wie möglich, die lauter Nullen und genau eine Eins enthalten:
$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline3 & -1 & 2 & 4 &+3\cdot\text{Zeile 3}\\4 & -6 & 4 & 10 &+4\cdot\text{Zeile 3}\\-1 & -2 & 0 & 1 & \cdot(-1)\\\hline0 & -7 & 2 & 7 &\div 2\\0 & -14 & 4 & 14 &-2\cdot\text{Zeile 1}\\1 & 2 & 0 & -1\\\hline0 & -3,5 & \pink1 & 3,5 & \Rightarrow-3,5y+\pink z=3,5\\0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark (\text{immer erfüllt})\\\pink1 & 2 & 0 & -1 &\Rightarrow\pink x+2y=-1\end{array}$$Wir haben unterwegs eine Gleichung verloren, weil sie von den beiden anderen abhägig war. Als Ergebnis haben wir 2 Gleichungen erhalten, die wir nach der pinken Variablen umstellen können:$$\pink z=3,5+3,5y\quad\land\quad \pink x=-1-2y$$
Wir können also \(y\in\mathbb R\) völlig frei wählen und daraus \(\pink x\) und \(\pink z\) berechnen. Das heißt, das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, die alle auf einer Geraden liegen:$$\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3,5+3,5y\\y\\-1-2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3,5\\0\\-1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}3,5\\1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3,5\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathbb R\cdot\begin{pmatrix}3,5\\1\\-2\end{pmatrix}$$
