Zeigen sie: (j - i) ist durch 3 teilbar.

Question

Es seien a_i und a_j (j>i) zwei Glieder der Folge (n³)_n∈ℕ mit gleicher Quersumme. Zeigen sie: (j - i) ist durch 3 teilbar.

Comments

Sei Q(n) die Quersumme von n.

Dann ist Q(n³)≡n³≡n mod(3) für alle n.

Insb. folgt aus Q(j³)-Q(i³)=0 direkt j-i≡0 mod(3)

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@ MatHaeMatician
Schreib das mal als Antwort. Das ist eine schöne Lösung und sollte einen hervorgehobenen Platz haben.

Answer 1

Zahlen mit gleicher Quersumme lassen den gleichen Rest mod 3.

Aus a ≡ b mod 3 folgt auch a³ ≡ b³ mod 3.

Es gilt  1³ ≡ 4³ ≡ 7³ ≡...≡1 mod 3.

Es gilt 2³ ≡ 5³ ≡ 8³ ≡...≡ -1 mod 3.

Es gilt 0³ ≡ 3³ ≡ 6³ ≡...≡ 0 mod 3.

Gleiche Reste der Kubikzahlen erfordern also zwangsläufig, das die Basen der Kubikzahlen als Abstand ein Vielfaches von 3 haben müssen.