Zeigen dass Determinante durch 17 teilbar ist

Question

Die Zahlen 58752, 36295, 79169, 68221 und 94435 sind teilbar durch 17.

Zeigen Sie, dass folgende Determinante auch durch 17 teilbar ist:

\( \begin{pmatrix} 5 8 7 5 2\\ 3 6 2 9 5\\ 7 9 1 6 9\\ 6 8 2 2 1\\ 9 4 4 3 5 \\ \end{pmatrix} \)

Versteht jemand wieso das so ist?

Comments

Wenn man die Zeilen einer n×n-Matrix als n-stellige Zahlen liest, dann ist der ggT dieser Zahlen ein Teiler der Determinante der n×n-Matrix.

Answer 1

Addiere das 10-fache der 4-ten Spalte zur letzten,
das 100-fache der 3-ten Spalte zur letzten,
das 1000-fache der 2-ten Spalte zur letzten,
schließlich das 10000-fache der 1-ten Spalte zur letzten.

Dabei ändert sich wegen der Scherungsinvarianz die Determinante nicht.
Nun stehen aber die 5 durch 17 teilbaren Zahlen in der letzten Spalte,
also kann man den gemeinsamen Faktor 17 aus der Determinante
herausziehen ohne den Verlust der Ganzzahligkeit.