ist 13 teilbar durch 17^n-4^n

Question

Also den Induktionsanfang habe ich verstanden, aber wie komme ich dann weiter mit dem Induktionsschritt?

Answer 1

Wohl eher   13 ist Teiler von 17ⁿ - 4ⁿ  ??

Ind. anfang hast du.

Schritt sieht so aus:

17ⁿ⁺¹ - 4ⁿ⁺¹  = 17*17ⁿ - 4*4ⁿ

= (13+4)*17ⁿ - 4*4ⁿ

= 13*17ⁿ +4*17ⁿ - 4*4ⁿ  

= 13*17ⁿ +4*(17ⁿ - 4ⁿ )

Der erste Summand geht durch 13 , weil er den Faktor 13 enthält und der

2. weil die Klammer laut Ind. vor durch 13 geht.      q.e.d.

Answer 2

Beweis durch Induktion:

Induktionsanfang (IA): n = 1

(17^1 - 4^1) / 13 = 13 / 13 = 1

Ist also schon mal teilbar!

InduktionsVoraussetzung (IV): Für ein beliebiges aber festes n Element der Natürlichen Zahlen gelte die Behauptung.

Induktionsschritt (IS, n-->n+1):

$$ { 17 }^{ n+1 }-{ 4 }^{ n+1 }=17*{ 17 }^{ n }-4*{ 4 }^{ n } $$

Jetzt muss man ein bisschen tricksen (der Trick hier: irgendwo in den Zahlen steckt eine 13, dann kann man nämlich wieder die IV nutzen (für die gilt das ja bereits)):

$$ 17*{ 17 }^{ n }-4*{ 4 }^{ n }=(13+4)*{ 17 }^{ n }-4*{ 4 }^{ n }=13*{ 17 }^{ n }+4*{ 17 }^{ n }-4*{ 4 }^{ n } $$

Hier sieht man jetzt, dass bereits eine 13 auftaucht. Nach der IV ist der Term ja durch 13 teilbar und die 13 selbst ist ja auch immer durch 13 teilbar. Wodurch das nun gezeigt worden ist. An dieser Stelle wärst du fertig!