Wieso ist die Abbildung nicht surjektiv?

Question

Aufgabe:

Sei V der Vektorraum R^N aller Folgen reeller Zahlen. Sei φ: V →V wie folgt definiert: Für f ∈ V und n ∈ N ist φ(f)(n) := f(n − 1), falls n ≥ 1, und φ(f)(n) = 0, falls n = 0.

(A) φ ist linear.
(B) Das Bild von φ ist ein Unterraum von V und isomorph zu V .
(C) φ ist surjektiv.
Problem/Ansatz:

Laut Lösung sind A,B war und C falsch. Ich verstehe nur C nicht ganz, wieso ist die Abbildung nicht surjektiv?

Answer 1

Die Folge \((1, 2, \dots)\) ist nicht im Bild von \(\varphi\).