Lösen einer Textaufgabe von Matrizen

Question

Aufgabe:

Laut einer Untersuchung eines Tourismusverbandes blieben im vergangenem Jahr \( 30 \% \) der Bevölkerung Österreichs im Urlaub zu Hause \( (H), 40 \% \) verreisten innerhalb von Österreich \( (I) \) und \( 30 \% \) verbrachten Ihren Urlaub im Ausland \( (A) \).

Die nachstehende Matrix \( U \) beschreibt das Wechselverhalten der österreichischen Urlauber von einem Jahr zum nächsten.
\( \begin{array}{l} \text { nach } \\ \begin{array}{lll} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad H & I & A \end{array} \\ \text { von } \quad \begin{array}{l} H \\ I \\ A \end{array}\left(\begin{array}{lll} 0,3 & 0,2 & 0,5 \\ 0,3 & 0,6 & 0,1 \\ 0,1 & 0,5 & 0,4 \end{array}\right) \\ \end{array} \)

a) Erläutern Sie die Bedeutung der Einträge 0,2 und 0,6 im gegebenen Kontext.

b) Berechnen Sie für das aktuelle Jahr jeweils die Anzahl der Urlauber, die zu Hause bleiben, den Urlaub in Österreich bzw. im Ausland verbringen.

c) Welche Bedeutung hat das Produkt \( \left(\begin{array}{lll}0,3 & 0,4 & 0,3\end{array}\right) \cdot U^{-1} \) im vorliegenden Kontext?

Problem/Ansatz:

Answer 1

a) 20% der im vergangenen Jahr zu Hause gebliebenen verreisten jetzt im Inland.

  60% der im letzten Jahr in Inland verreisten, taten das auch in diesem Jahr.

Answer 2

a)

20% der Urlauber die im letzten Jahr zu Hause geblieben sind verreisen dieses Jahr ins Inland.

60% der ins Inland verreisten Österreicher verreisen auch dieses Jahr wieder ins Inland.

b)

[0.3, 0.4, 0.3]·[0.3, 0.2, 0.5; 0.3, 0.6, 0.1; 0.1, 0.5, 0.4] = [0.24, 0.45, 0.31]

24% bleiben im Hause, 45% verreisen ins Inland und 31% verbringen den Urlaub im Ausland.

c)

Das Prudukt gibt den Vektor an wo die Österreicher vor 2 Jahren Ihren Urlaub verbracht haben.

[0.3, 0.4, 0.3]·[0.3, 0.2, 0.5; 0.3, 0.6, 0.1; 0.1, 0.5, 0.4]^(-1) =[0.5, 0.5, 0]

Demzufolge blieben im Lockdown 50% der Österreicher zu Hause und 50% verreisten immerhin im Inland. Dies war aber nicht auszurechnen.