Punktweise bzw. Gleichmäßige Konvergenz zeigen

Question

Aufgabe:

f_n(x) = \( \frac{sin(nx)}{n^2} \) mit x∈ℝ

Problem/Ansatz:

Man soll die gegebene Folge auf punktweise bzw. gleichmäßige Konvergenz untersuchen.

(f_n)_n∈ℕ heißt punktweise konvergent auf D, wenn der Limes lim _n→∞ f_n(x) für jedes
x ∈ D in K existiert.

(f_n)_n∈ℕ heißt gleichmäßig konvergent, wenn es f: D → K gibt, derart dass gilt:
∀∈>0 ∃_n0∈ℕ: |f_n(x) - f(x)| <ε 

Ich weiß auch, dass die gleichmäßige die punktweise Konvergenz voraussetzt, dennoch komm ich nicht weiter !?

Comments

Was hast du denn als punktweisen Grenzwert der
Funktionenfolge herausbekommen?

---

lim _n→∞ \( \frac{sin(nx)}{n^2} \)

Der Zähler ist ±1 und der Nenner geht gegen ∞

Somit würde ich sagen: lim _n→∞ \( \frac{sin(nx)}{n^2} \) = 0

---

Da bin ich ganz deiner Meinung :-)

Answer 1

Es ist \(f=0\) die Nullfunktion der punktweise Limes der \(f_n\).

Nun gilt $$\sup_{x\in \mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{x\in \mathbb{R}}\frac{|\sin(nx)|}{n^2}=\frac{1}{n^2}\to 0\text{ für }n\to \infty$$\(f_n\) konvergiert also gleichmäßig gegen \(f=0\).

Comments

Vielen Dank für deine schnelle Hilfe ermanus ☺