Darstellende Matrix im 5er Raum berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die geordnete Basis B:= ( \( \begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 4\\4 \end{pmatrix}  \) ) ⊂ ℤ²₅ und A:= \( \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \) ∈ ℤ^2x2₅.

Sei C die Standardbasis des ℤ²₅ und f: ℤ²₅ →  ℤ²₅, f(x) = Ax. Berechnen Sie die darstellende Matrix A_f^B,C von f zur Eigangsbasis B und Ausgangsbasis C.

Die 5en bedeuten in einem 5-Körper. Heisst: Es existieren nur die Zahlen 0-4.

Problem/Ansatz:

Habe die darstellende Matrix \( \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) berechnet.

Meine Frage ist jetzt, ob und insbesondere wie ich kontrollieren kann, ob das richtig ist?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!!

Answer 1

Du hast richtig gerechnet.

Eine Möglichkeit einer Probe ist, die Matrix \(A_f^{C,C}\) aus \(A_f^{B,C}\) zu rekonstruieren:

$$I_{B,C}=\begin{pmatrix}2 & 4 \\ 3 & 4\end{pmatrix} \Rightarrow I_{C,B}= I_{B,C}^{-1}= (-4)^{-1}\begin{pmatrix}4 &-3 \\ -4 & 2\end{pmatrix}^T =  \begin{pmatrix}4 &-4 \\ -3 & 2\end{pmatrix}$$

Nun rechne

$$A_f^{C,C} = A_f^{B,C}I_{C,B}= \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 &-4 \\ -3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 &-2 \\ -3 & 2\end{pmatrix} \stackrel{\mathbb Z_5}{=}\begin{pmatrix}4 &3 \\ 2 & 2\end{pmatrix}$$

Also alles schick.

Comments

Vielen Dank!

Wie genau kommst Du bei dem ersten Teil der Rechnung von \( \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) auf \( \begin{pmatrix} 4 & -4 \\- 3 & 2 \end{pmatrix} \) ?

Also was bedeutet I_C,B = I^-1_C,B?

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1. Frage:

Ich benutze die Adjunktenformel für die Inverse und benutze, dass in \(\mathbb Z_5\) gilt:

 \(\det I_{B,C} = -4 = 1 \: ( \mathbb Z_5)\).

2. Frage:
\(I_{B,C}\) ist die Matrixdartellung der identischen Abbildung mit der "Eingangsbasis" \(B\) und der "Ausgangsbasis" \(C\).

\(I_{C,B} = I_{B,C}^{-1}\) ist dann die Matrixdarstellung der identischen Abbildung mit der "Eingangsbasis" \(C\) und der "Ausgangsbasis" \(B\).

Answer 2

Ich k0mme auch auf \( \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \).

Denn in den Spalten müssen doch (wegen C = Standardbasis)

die Bilder der Basisvektoren von B stehen.

Comments

Vielen Dank, aber wie kann ich dies am besten kontrollieren?