Wie wandele ich eine Parametergeradengleichung in eine parameterfreie Geradengleichung um?

Question

Aufgabe: Die Positionen der Atome eines Wassermolekuls sind gegeben zu: O(1,√3/2, 0,5)
H₁(1,0,1) und
H₂(1,√3,1).

Wie lautet eine parameterfreie Form der Gerade, die durch das Sauerstoffatom O und
das Wasserstoffatom H1 verläuft?

Problem/Ansatz:

Ich habe als erstes eine Geradengleich aufgestellt in Abhängigkeit von t.

Und dann die jeweilige "Zeile" als Koordinate definiert.

Also x=1 y=1-√3/2t z=1-05,t

Dann hab ich die dritte Gleichung mal √3 gerechent und sie mit der 2. Zeile addiert, um den Parameter rauszukürzen

Also y+√3z=√3

Was mach ich dann mit x=1 addiere ich die auch noch dazu oder ist meine Arbeit hier getan?

Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus :)

Comments

? parameterfreie Form der Gerade?

gibt es im R³ nicht - bestenfalls 2 Ebenen die im Schnitt die Gerade darstellen...

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Wäre es dann die Ebenen von oben genannt, also x=1 und y+√3z=√3?

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Wären es dann die Ebenen von oben genannt, also  x=1  und  y+√3z = √3?

Falls diese Gleichungen richtig hergeleitet sind (was ich annehme), dann kann man aus diesen zwei Gleichungen eine neue bilden, nämlich:

       [x-1]² + [y + \( \sqrt{3} \)·(z-1)]² = 0

Dies ist dann, wie gewünscht, eine parameterfreie Gleichung.

Wer will, kann diese natürlich noch ausmultiplizieren und neu ordnen.

Die so entstandene Gleichung ist natürlich nicht mehr linear, sondern gemischt-quadratisch.

Begründung:

( A = 0 ) ∧ ( B = 0 )  ⇔  A² + B² = 0

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Okay, vielen Dank, und wie kamst du auf diese gemischt quadratische Gleichung?

Answer 1

Da passt was net: Annahme -√3/2 = -sqrt(3/2) - Neu: -sqrt(3)/2

Ich hab für die Gerade

\(g(t) \, : \left(\begin{array}{r}x\\y\\z\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}1\\ \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \; t\\\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \; t\\\end{array}\right)\)

z:{t = (2 * z) - 1} ∈ g

\(\left(\begin{array}{r}x\\y\\z\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}1\\-\sqrt{3} \; z + \sqrt{3}\\z\\\end{array}\right)\)

==>

\(E1: x = 1  \\ E2: y = -\sqrt{3} \; z + \sqrt{3}  \)

Comments

Ich verstehe nicht, wie du auf √6 kommst.

Der Richtungsvektor aus den Punkten O und H1 ist doch (0, √3/2, -0,5)

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Wie gesagt

Annahme -√3/2 = -sqrt(3/2)

vermutlich

gehts Du aber von -√3/2 = -sqrt(3)/2

aus - dann würde Dein Ergebnis auch passen....

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Oh man, sorry. Ich habe das überlesen. Genau ich gehe, von dem 2. aus.

Passt dann meine Gleichung oder muss ich die noch umformen?

Viele Grüße :)

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Gut, dann ändere ich oben den Wert!

Dann kannst Du alles so lassen, wie es ist...