Aloha :)
Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge:
$$x_n=x_{n-1}^2+\frac14\quad;\quad x_0\in\left[0;\frac12\right]\quad;\quad n\in\mathbb N$$
zu a) Die Folge ist monoton wachsend, denn:
$$x_{n}-x_{n-1}=\left(x_{n-1}^2+\frac14\right)-x_{n-1}=\left(x_{n-1}-\frac12\right)^2\ge0\quad\implies\quad x_n\ge x_{n-1}$$
zu b) Jede beschränkte monotone Folge konvergiert.
Wegen der bereits gezeigten Monotonie ist \((x_n\ge x_0)\), d.h. die Folge ist nach unten beschränkt.
Wir zeigen durch vollständige Induktion, dass \(x_n\le\frac12\) auch nach oben beschränkt ist.
Die Verankerung bei \(n=0\) ist klar, da \(x_0\in[0;\frac12]\).
Im Induktionsschritt setzen wir daher \(0\le x_0\le x_{n-1}\le\frac12\) voraus:$$0\le x_{n-1}\le\frac12\implies x_{n-1}^2\le\frac14\implies x_n=x_{n-1}^2+\frac14\le\frac14+\frac14=\frac12\quad\checkmark$$
Damit ist die Konvergenz der Folge geischert und für den Grenzwert \(x\) gilt:$$x=x^2+\frac14\quad\big|-x$$$$x^2-x+\frac14=0\quad\big|\text{2-te binomische Formel}$$$$\left(x-\frac12\right)^2=0\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$x-\frac12=0\quad\big|+\frac12$$$$x=\frac12$$
