Hallo,
f5 soll eine Spiegelung der Geraden am P (0,0) sein mit dem Winkel phi zur X - Achse.
ich vermute mal, es soll heißen: f5 soll eine Spiegelung an der Geraden durch P(0,0) sein, ...
Im Internet stand, dass eine Spiegelung um phi/2 genau eine Drehung um phi ist...
das siehste mal, was für'n Mist "im Internet" steht. Wobei da ein Körnchen Wahrheit drin steckt: Eine Drehung um \(2\varphi\) sieht so aus:$$T_{2\varphi}=\begin{pmatrix} \cos(2\varphi) & -\sin(2\varphi)\\ \sin(2\varphi)& \cos(2\varphi)\end{pmatrix}$$und eine Spiegelung an der X-Achse besteht lediglich darin, die Y-Koordinate zu negieren:$$T_{sx} = \begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix}$$Jetzt bilden zwei Spiegelungen \(T_{s1}\) und \(T_{s2}\) an zwei sich schneidenden Geraden \(g_1\) und \(g_2\) eine Drehung um den Schnittpunkt der Geraden um den doppelten Winkel \(\varphi\) zwischen den Geraden - also$$ T_{s1} \cdot T_{s2}=T_{2\varphi}$$Siehe dazu auch diese Antwort. Wenn nun \(g_1\) die Gerade mit dem Winkel \(\varphi\) ist und \(g_2\) die X-Achse ist, so ist \(T_{s1}\) die Matrix \(F_5\) der gesuchte Spiegelung f5, \(T_{s2}\) die Spiegelung an X \(T_{sx}\) und \(\varphi\) der Winkel zwischen den beiden. Also ist$$\begin{aligned} F_5 \cdot T_{sx}&=T_{2\varphi} &&| \,\cdot T_{sx}^{-1} \\ F_5&= T_{2\varphi} \cdot T_{sx}^{-1} &&|\, T_{sx}^{-1} = T_{sx} \\ F_5 &= T_{2\varphi} \cdot T_{sx} \\ &= \begin{pmatrix} \cos(2\varphi) & -\sin(2\varphi)\\ \sin(2\varphi)& \cos(2\varphi)\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos(2\varphi) & \sin(2\varphi)\\ \sin(2\varphi)& -\cos(2\varphi)\end{pmatrix}\end{aligned}$$siehe auch diese Frage.
Gruß Werner
