0 Daumen
550 Aufrufe

Aufgabe:

Hallo


komme bei der Aufgabe nicht weiter: Es geht um Transfomationsmatrizen


f5 soll eine Spiegelung der Geraden am P (0,0) sein mit dem Winkel phi zur X - Achse.


Abgebildet wird von R^2 in R^2





Problem/Ansatz:

Im Internet stand, dass eine Spiegelung um phi/2 genau eine Drehung um phi ist... Sehe da echt keinen Zusammenhang und würde mich freuen auf Hilfe.

Danke


LG

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo,

f5 soll eine Spiegelung der Geraden am P (0,0) sein mit dem Winkel phi zur X - Achse.

ich vermute mal, es soll heißen: f5 soll eine Spiegelung an der Geraden durch P(0,0) sein, ...

Im Internet stand, dass eine Spiegelung um phi/2 genau eine Drehung um phi ist...

das siehste mal, was für'n Mist "im Internet" steht. Wobei da ein Körnchen Wahrheit drin steckt: Eine Drehung um \(2\varphi\) sieht so aus:$$T_{2\varphi}=\begin{pmatrix} \cos(2\varphi) & -\sin(2\varphi)\\ \sin(2\varphi)& \cos(2\varphi)\end{pmatrix}$$und eine Spiegelung an der X-Achse besteht lediglich darin, die Y-Koordinate zu negieren:$$T_{sx} = \begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix}$$Jetzt bilden zwei Spiegelungen \(T_{s1}\) und \(T_{s2}\) an zwei sich schneidenden Geraden \(g_1\) und \(g_2\) eine Drehung um den Schnittpunkt der Geraden um den doppelten Winkel \(\varphi\) zwischen den Geraden - also$$ T_{s1} \cdot T_{s2}=T_{2\varphi}$$Siehe dazu auch diese Antwort. Wenn nun \(g_1\) die Gerade mit dem Winkel \(\varphi\) ist und \(g_2\) die X-Achse ist, so ist \(T_{s1}\) die Matrix \(F_5\) der gesuchte Spiegelung f5, \(T_{s2}\) die Spiegelung an X \(T_{sx}\) und \(\varphi\) der Winkel zwischen den beiden. Also ist$$\begin{aligned} F_5 \cdot T_{sx}&=T_{2\varphi} &&| \,\cdot T_{sx}^{-1} \\ F_5&=  T_{2\varphi} \cdot T_{sx}^{-1} &&|\, T_{sx}^{-1} = T_{sx} \\ F_5 &= T_{2\varphi} \cdot T_{sx} \\ &= \begin{pmatrix} \cos(2\varphi) & -\sin(2\varphi)\\ \sin(2\varphi)& \cos(2\varphi)\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos(2\varphi) & \sin(2\varphi)\\ \sin(2\varphi)& -\cos(2\varphi)\end{pmatrix}\end{aligned}$$siehe auch diese Frage.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

und also wie Wächter auch schon behauptet, ist die doppelte Spiegelung (det=-1)

eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn ...jetzt bezogen auf : Ts1 * Ts2 = T2φ.

und also wie Wächter auch schon behauptet, ist die doppelte Spiegelung (det=-1)
eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn ...jetzt bezogen auf : Ts1 * Ts2 = T2φ.

bei einer(!) Spiegelung ist die Determinante der Abbildungsmatrix \(=-1\). Führt man zwei Spiegelungen hintereinander aus, so ist die Determinante der resultierenden Abbildungsmatrix (also des Produkts der einzelnen Spiegel-Matrizen) natürlich wieder \(1\).$$T_{s1} \cdot T_{s1} = T_{2\varphi} \\ \underbrace{\det(T_{s1})}_{=-1} \cdot \underbrace{\det(T_{s2})}_{=-1} = \underbrace{\det(T_{2\varphi})}_{=1}$$Die Determinante der Matrix der 'doppelten' Spiegelung ist also wieder \(=+1\).

Die Drehrichtung ist durch die Reihenfolge der Spiegelungen gegeben. Wenn $$T_{s1} \cdot T_{s2} = T(2\varphi)$$dann ist$$T_{s2} \cdot T_{s1} = T(-2\varphi)$$\(\varphi\) ist der Winkel, den man die Gerade \(g_2\) drehen muss, um zu \(g_1\) zu kommen. Also in Deinem Fall ist \(\varphi\) der Winkel der Geraden gegenüber der X-Achse.

habs gecheckt, danke fürs gegenbeispiel

0 Daumen

EINE Spiegelung ist eine Spiegelung und keine Drehung.

https://www.geogebra.org/m/NXx4E8cb#chapter/469336

Eine Spiegelung ändert den Drehsinn (determinante = -1), bei einer Drehung bleibt der Drehsinn gleich (determinante = 1).

Bessere Deine Fragstellung nach - so ergibt das keinen Sinn...

Avatar von 21 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community