Vollständige Induktion: Muss der Induktionsanfang immer beim kleinsten Wert starten?

Question

Sagen wir man muss selber eine Gleichung aufstellen und danach die vollständige Induktion für diese Gleichung machen. Muss man beim Induktionsanfang immer die kleinste Zahl nehmen? Wenn man beispielsweise vor der Induktion eine Teilaufgabe hatte, die ersten 4 Werte auszurechnen, könnte man dann auch einfach den 5. Wert als Induktionsanfang nehmen, einfach um noch einmal sicherer zu sein, dass die Gleichung stimmt? Theoretisch könnte es ja sein, dass beim Berechnen des 5. Wertes heraus kommt, dass die Gleichung, die man aufgestellt hat, falsch ist. Dann wäre es ja sinnlos weiter die vollständige Induktion für diese Gleichung zu machen.

Answer 1

Wenn man beispielsweise vor der Induktion eine Teilaufgabe hatte, die ersten 4 Werte auszurechnen

Prüfe, ob diese ersten vier Werte auf die Gleichung passen.

könnte man dann auch einfach den 5. Wert als Induktionsanfang nehmen

Das darfst du. Dazu sehe ich aber keine Veranlassung. Du müsstest ja dann den fünften Wert ausrechnen und prüfen, ob er auf die Gleichung passt.

Nimm einfach den den vierten Wert als Induktionsanfang. Den vierten Wert hast du ja schon ausgerechnet und geprüft, dass er auf die Gleichung passt.

Answer 2

Ein Beweis mit vollständiger Induktion bezieht sich immer auf eine Menge  { n ∈ ℕ |  n ≥ n₀ } von Indices, für welche eine Behauptung  A(n) bewiesen werden soll.

Natürlich verankert man dann den Induktionsbeweis sinnvollerweise auch bei dem betreffenden "Startindex" n₀ .  Ist dies aus gewissen Gründen nicht möglich oder unpraktisch, wären für jene Indices, die noch vor dem abgedeckten Bereich liegen, separate Beweise erforderlich.