Permutationen und konjugiert

Question

Aufgabe:

Sei σ₃ = (1 3 2)(4 5), σ₂ = (1 2 3) (4 5) und σ₁ = (1 5 4 2) (3). Zeigen Sie, welche der Permutationen σ1, σ2 und σ3 zueinander konjugiert sind und falls sie zueinander konjugiert sind: Geben Sie ein Element an, mit dem man konjugieren kann, um die jeweils andere Permutation zu erhalten.

Problem/Ansatz:

Für σ₂ und σ₃ habe ich mehr oder wenig zufällig h = (2 3) = h^-1 gefunden. Also: $$h\circ \sigma_{2} \circ h^{-1}=\sigma_{3}$$ und $$h\circ \sigma_{3} \circ h^{-1}=\sigma_{2}$$

Mein Frage: Wie kommt man eigentlich darauf, ohne es nur auszuprobieren? Könnte mir bitte jemand anhand σ₂, σ₃ zeigen? Also wie man korrekt auf (2 3) kommt?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Answer 1

Für eine Permutation \(\pi\)  sei \(\pi=\pi_1\cdots \pi_r\)

eine Darstellung als Produkt ziffernfremder Zyklen,

etwa \(\pi_i=(n_{i,1}\; \cdots \; n_{i,s})\). Für ein \(\tau\in S_n\)

gilt dann \(\tau\pi\tau^{-1}=(\tau\pi_1\tau^{-1})\cdots(\tau\pi_r\tau^{-1})\),

wobei für jeden Zykel \(\pi_i\) gilt

\(\tau\pi_i\tau^{-1}=(\tau(n_{i,1})\;\cdots \; \tau(n_{i,s}))\).

Die ziffernfremde Zykelzerlegung von \(\sigma_3\) und \(\sigma_2\)

unterscheidet sich in den 3-er Zykeln (1 3 2) und (1 2 3), die beide

jeweils aus dem anderen entstehen, indem man 2 und 3 vertauscht.

Daher führt Konjugation mit \(\tau=\)(2 3) den einen in den anderen über.

Bei der Konjugation gehen Zykel in Zykel gleicher Länge über.

Daher ist \(\sigma_1\) weder zu \(\sigma_3\) noch zu \(\sigma_2\)

konjugiert: "der Zerlegungstyp ist ein anderer".