Integral - Flächenberechnung: 2 Flächen sollen gleich groß sein?

Question

Aufgabe: Integral - Flächenberechnung: 2 Flächen sollen gleich groß sein?

Ich bräuchte einen Rechenweg für folgende Aufgabenstellung:

Gegeben ist die reelle Funktion f(x) = 1,5.x^0,5. Gib die Stelle a so an, dass die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse im Intervall [4;16] in zwei gleich große Flächen A1 und A2 geteilt wird.

Danke für die Unterstützung!

Comments

Guten Morgen. Die Funktion $$ f(x) = 1.5\cdot x^{0.5} = \dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{x} $$ besitzt die Stammfunktion $$F(x)=\dfrac{3}{4\cdot\sqrt{x}}.$$ Zu lösen ist nun die Gleichung $$\begin{aligned} A_1 &= A_2\\[1em] F(a)-F(4) &= F(16)-F(a)\\[1em] F(a) &= \dfrac{F(16)+F(4)}{2}\\[1em] \dfrac{3}{4\cdot\sqrt{a}} &= \dfrac{F(16)+F(4)}{2}\\[1em] \dfrac{4\cdot\sqrt{a}}{3} &= \dfrac{2}{F(16)+F(4)}\\[1em] \sqrt{a} &= \dfrac{3}{2\cdot\left(F(16)+F(4)\right)}\\[1em] a &= \left(\dfrac{3}{2\cdot\left(F(16)+F(4)\right)}\right)^2. \end{aligned}$$ Die Größe der Flächen muss dazu nicht berechnet werden.

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Interessant, dass eine fehlerhafte Antwort die "beste" ist.

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Habe ich etwas übersehen?

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Du hast abgeleitet statt zu integrieren.

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O je, du hast recht. Dann ist meine Antwort natürlich Blödsinn!

Answer 1

Berechne zuerst die Gesamtfläche per Integral:

F(x) = 1,5*x^1,5/1,5 = x^1,5 +C

Halbiere das Ergebnis E und setze das Integral von 4 bis a gleich diesem Ergebnis.

Berechne damit a, die obere Grenze:

[x^1,5] von 4 bis a = E

Comments

[1,5x^{1,5}] von 4 bis a = E

Lieber nicht!

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Danke, das reingerutschte 1,5 ist beseitigt.

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0,5E wäre passender.

Answer 2

Löse die Gleichung

\(\displaystyle \int\limits_{4}^{a} 1,5 \, x^{0,5} \, dx = \int\limits_{a}^{16}  1,5 \, x^{0,5} \, dx \)

nach a auf.

[spoiler]

Ergibt a zwischen 10 und 11.

[/spoiler]

Answer 3

a^{1.5}-4^{1.5} = 16^{1.5}-a^{1.5}

2a^{1.5} = 64+8

a^{1.5}=36

\(a=6\cdot\sqrt[3]6\approx10.903\)

https://www.desmos.com/calculator/omntifatg2

:-)