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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenfolge fn(x)=sin(x^n*(1-x)) mit x∈[0,1]


Problem/Ansatz:

Wenn ich richtig liege müsst folgendes stimmen:

f(x) = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) fn(x) = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) sin(x^n*(1-x)) = 0,

womit die punktweise konvergiert.

Für die gleichmäßige Konvergenz gilt: |fn(x) - f(x)|<ε ∀n∈ℕ mit n≥n0

|sin(x^n*(1-x)) - 0| = |sin(x^n*(1-x))|


Jetzt komm ich aber mit der Abschätzung nicht mehr weiter!

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Nutze, dass \(\sin x \leq x\) für \(x\geq 0\) gilt.

Also

$$0\leq \sin (x^n(1-x)) \leq x^n(1-x)$$


Per 1. Ableitung findest du schnell, dass \(x^n(1-x)\) auf \([0,1]\) das Maximum annimmt bei

$$x_{max} = \frac n{n+1}$$

Damit hast du dann deine gewünschte Abschätzung

$$x^n(1-x)\leq \left(\frac n{n+1}\right)^n\left(1-\frac n{n+1}\right)<\frac 1{n+1}$$

Avatar von 11 k

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