sin(xn*(1-x)) mit x∈[0,1] gleichmäßig Konvergent

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenfolge f_n(x)=sin(xⁿ*(1-x)) mit x∈[0,1]

Problem/Ansatz:

Wenn ich richtig liege müsst folgendes stimmen:

f(x) = $\lim\limits_{n\to\infty}$ f_n(x) = $\lim\limits_{n\to\infty}$ sin(x^n*(1-x)) = 0,

womit die punktweise konvergiert.

Für die gleichmäßige Konvergenz gilt: |f_n(x) - f(x)|<ε ∀n∈ℕ mit n≥n₀

|sin(xⁿ*(1-x)) - 0| = |sin(xⁿ*(1-x))|

Jetzt komm ich aber mit der Abschätzung nicht mehr weiter!

Answer 1

Nutze, dass $\sin x \leq x$ für $x\geq 0$ gilt.

Also

$$0\leq \sin (x^n(1-x)) \leq x^n(1-x)$$

Per 1. Ableitung findest du schnell, dass $x^n(1-x)$ auf $[0,1]$ das Maximum annimmt bei

$$x_{max} = \frac n{n+1}$$

Damit hast du dann deine gewünschte Abschätzung

$$x^n(1-x)\leq \left(\frac n{n+1}\right)^n\left(1-\frac n{n+1}\right)<\frac 1{n+1}$$

Comments

Danke für deine Hilfe