Aufgabe:
Welche Werte sind für dim(U+V) möglich?
Problem/Ansatz:
Es seien \( U \) und \( V \) Vektorräume aus dem \( \mathbb R^4 \) mit \( dim(U) = dim(V)=2 \).
Welche Werte sind für \( dim(U+V) \) möglich?
Also mein Ansatz war jetzt \( dim(U+V) = dim(U) +dim(V) - dim(U \cap V ) \).
da \( dim(U) = dim(V) = 2 \) bin ich aber etwas verwirrt. Ich denke, dass \( U \) und \( V \) ja verschiedene Räume aufspannen können, jedoch auch identische. Daraus würde ja für \( dim(U \cap V) \) folgen, dass \( dim (U \cap V)= 2 \) , wenn \( U \) und \( V \) den gleichen Raum aufspannen,
\( dim(U \cap V )= 1 \) wenn einer der Basisvektoren l.u. zu einem der anderen Basis ist,
und \( dim (U \cap V ) = 0 \) wenn sie den gesamten \( \mathbb R^4 \) aufspannen, also alle Basisvektoren l.u. zueinander sind.
Ich muss zugeben, dass es mir beim Schreiben gerade logisch erscheint, würde nur gerne überprüfen, ob ich mit meiner Vermutung richtig liege.
Vielen Dank!
