Aloha :)
zu a) Die Wahrscheinlichkeitsdichte muss auf den Gesamtwert \(1\) normiert sein:$$1\stackrel!=\int\limits_0^1f(x)\,dx=\int\limits_0^1(a+bx^2)\,dx=\left[ax+b\,\frac{x^3}{3}\right]_{x=0}^1=a+\frac b3\implies 3a+b=3$$und der Erwartungswert soll \(\frac35\) sein:$$\frac35\stackrel!=\int\limits_0^1x\,f(x)\,dx=\int\limits_0^1(ax+bx^3)dx=\left[a\,\frac{x^2}{2}+b\,\frac{x^4}{4}\right]_{x=0}^1=\frac a2+\frac b4\implies10a+5b=12$$
Das kleine Gleichungssystem wird gelöst durch\(\quad a=\frac35\) und \(b=\frac{6}{5}\). Daher ist$$f(x)=\frac35+\frac{6}{5}\,x^2\quad;\quad x\in[0;1]$$
zu b) Hierzu integrieren wir die Dichtefuntkion:$$F(x)=\int\limits_0^xf(t)\,dt=\int\limits_0^x\left(\frac35+\frac65\,t^2\right)dt=\left[\frac35\,t+\frac25\,t^3\right]_{t=0}^x=\frac{x(3+2x^2)}{5}$$
zu c)\(\;P\left(0\le X\le\frac12\right)=F\left(\frac12\right)=\frac{7}{20}=35\%\)
