Aloha :)
Wenn du Funktionen mit mehreren Variablen nach nur einer von diesen Variablen ableiten möchtest, also nur partiell ableiten möchtest, musst du alle anderen Variablen wie Konstanten behandeln.
Unser Patient hängt von 3 Variablen ab:$$f(x;y;z)=y^3e^{x^2+6yz}$$
Daher gibt es auch 3 partielle Ableitungen:$$\frac{\partial f}{\partial\pink x}=\frac{\partial}{\partial\pink x}\left(y^3e^{\pink{x^2}+6yz}\right)=\underbrace{y^3e^{\pink{x^2}+6yz}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\pink{2x}}_{\text{innere Abl.}}=\pink{2x}y^3e^{\pink{x^2}+6yz}$$$$\frac{\partial f}{\partial\pink y}=\frac{\partial}{\partial\pink y}\left(\underbrace{\pink{y^3}}_{=u}\cdot\underbrace{e^{x^2+6\pink yz}}_{=v}\right)=\underbrace{\pink{3y^2}}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{x^2+6\pink yz}}_{=v}+\underbrace{\pink{y^3}}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{e^{x^2+6\pink yz}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{6z}^{\text{innere Abl.}}}_{=v'}=$$$$\phantom{\frac{\partial f}{\partial\pink y}}=(\pink{3y^2}+6\pink{y^3}z)e^{x^2+6\pink yz}$$$$\frac{\partial f}{\partial\pink z}=\frac{\partial}{\partial\pink z}\left(y^3e^{x^2+6y\pink z}\right)=\underbrace{y^3e^{x^2+6y\pink z}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{6y}_{\text{innere Abl.}}=6y^4e^{x^2+6y\pink z}$$
Der Gradient lautet also:$$\operatorname{grad}f(x;y;z)=e^{x^2+6yz}\cdot\left(\begin{array}{c}2xy^3\\[0.5ex]3y^2+6y^3z\\[0.5ex]6y^4\end{array}\right)$$
Die Ableitung ist die sogenannte Jacobi-Matrix, dafür musst du den Gradient als Zeilenvektor hinschreiben.
