Aloha :)
"injektiv" bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.
"surjektiv" bdeteut, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.
Um zu zeigen, dass eine Funktion nicht injektiv ist, kannst du zwei Argumente der Funktion angeben, die dasselbe Ziel treffen. Dann hast du einen Wert aus der Zielmenge gefunden, der mehr als 1-mal getroffen wird, und bist fertig.
Um zu zeigen, dass eine Funktion nicht surjektiv ist, kannst du ein Element aus der Zielmenge angeben, das nie getroffen wird, und bist dann ebenfalls fertig.
Um also das "nicht" zu zeigen, reicht die Angabe eines Gegenbeispiels aus.
Am Beispiel der Teilfaufgabe (i) wird das klar:$$f\colon\mathbb R\to\mathbb R\,,\,x\to x^2$$Wegen \(f(1)=1^2=1\) und \(f(-1)=(-1)^2=1\) treffen die beiden Argumente \((-1)\) und \((+1)\) dasselbe Ziel \(1\). Daher ist \(f\) nicht injektiv.
Die Zielmenge von \(f\) ist ganz \(\mathbb R\), enthält also insbesondere alle negativen Zahlen. Der Wert \((-1)\) aus der Zielmenge wird aber nie getroffen, weil die Funktionsgleichung \(f(x)=x^2\) wegen des Quadrierens keine negativen Werte liefert. Daher ist die Funktion nicht surjektiv.
Um zu zeigen, dass eine Funktion injektiv ist, musst du wirklich zeigen, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Zu diesem Zweck nimmst du an, dass es zwei Argumente \(x\) und \(y\) mit demselben Ziel \(f(x)=f(y)\) gibt. Dann folgerst du aus dieser Annahme, dass \(x=y\) sein muss.
Das wird am Beispiel von (ii) klar:$$f\colon\mathbb R^{\ge0}\to\mathbb R\,,\,x\to x^2$$Wir treffen unsere Annahmen und überlegen uns Folgendes:$$f(x)=f(y)\implies x^2=y^2\stackrel{\sqrt{\cdots}}{\implies}x=\pm y\pink{\stackrel{x;y\ge0}{\implies}}x=y$$Vor dem pinken Folgerungspfeil haben wir noch zwei mögliche Argumente, denn neben \((x=y)\) wäre auch \((x=-y)\) ein mögliches Argument. Der Definitionsbereich enthält jedoch keine negativen Argumente, daher fällt mit dem pinken Folgerungspfeil das negative Argument weg und es muss \((x=y)\) gelten. Es gibt also keine zwei verschiedenen Argumente mit demselben Ziel, d.h. die Funktion ist injektiv.
Die Funktion ist natürlich immer noch nicht surjektiv, denn die Zielmenge enthält immer noch alle negativen reellen Zahlen, von denen keine jemals getroffen werden kann.
Um zu zeigen, dass eine Funktion surjektiv ist, musst du zeigen, dass wirklich jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird. Dazu wählst du dir ein beliebiges Element \(y\) aus der Zielmenge aus und gibst dazu das Argument \(x\) an, das dieses \(y\) trifft.
Das wird im Beispeil (iii) klar. Denn hier ist die Zielmenge nicht mehr ganz \(\mathbb R\), sondern enthält nur noch alle nicht-negativen Zahlen.$$f\colon\mathbb R\to\mathbb R^{\ge0}\,,\,x\to x^2$$Wir wählen ein \(y\in\mathbb R^{\ge0}\) aus der Zielmenge beliebig aus und suchen uns ein Argument \(x\), das dieses \(y\) trifft:$$y=f(x)\implies y=x^2\stackrel{\sqrt{\cdots}}{\implies}x=\pm\sqrt y$$Da \(y\ge0\) ist, können wir die Wurzel ziehen und finden sogar direkt zwei Argument aus der Definitionsmenge, die dieses \(y\) treffen.
Daher ist \(f\) surjektiv, aber nicht injektiv (denn \(y\) wird ja von zwei Argumenten getroffen)
Damit solltest du die letzte Teilaufgabe nun selbst nachvollziehen können.
