Zeige, dass dies auch für alle weiteren Quadratzahlen gilt.

Question

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4 Beim Betrachten der ersten Quadratzahlen 1, 4,9,16, 25, 36, 49, ... fällt auf, dass die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen immer ungerade ist.
Zeige, dass dies auch für alle weiteren Quadratzahlen gilt.
Hinweis: Wähle dazu als erste Zahl n und als darauffolgende Zahl \( (n+1) \) und begründe, dass die Differenz dieser Quadrate immer eine
\begin{tabular}{|l|l|c|}
\hline \( 1^{2}=1 \) & \( 2^{2}=4 \) & \( 4-1=3 \) \\
\hline \( 2^{2}=4 \) & \( 3^{2}=9 \) & \( 9-4=5 \) \\
\hline \( 3^{2}=9 \) & \( 4^{2}=16 \) & \( 16-9=7 \) \\
\hline \( 4^{2}=16 \) & \( 5^{2}=25 \) & \( 25-16=9 \) \\
\hline \( 5^{2}=25 \) & \( 6^{2}=36 \) & \( 36-25=11 \) \\
\hline \( 6^{2}=36 \) & \( 7^{2}=49 \) & \( 49-36=13 \) \\
\hline
\end{tabular}
ungerade Zahl ergibt.

Answer 1

Zwei aufeinanderfolgende Quadratzahlen sind n² und (n+1)²= n²+2n+1. Ihre Differenz ist 2n+1 also ungerade.

Answer 2

Nehme beliebige Zahl n und quadriere sie , also n^2

und dann die zahl nach n und dann quadrieren, also (n+1)^2

Zeige, dass (n+1)^2-n^2=2*n+1 ergibt , weil 2*n+1 ist eine beliebige ungerade Zahl.

Answer 3

Inhalt der grauen Fläche: n^2

Inhalt der grauen + gelben + orangen Fläche: (n+1)^2

Summe der Inhalte der gelben Flächen: immer gerade

Inhalt der orangen Fläche: immer ungerade, nämlich 1

Differenz der aufeinanderfolgenden Quadratzahlen (= der Flächeninhalte der beiden Quadrate): immer ungerade