Wie berechnet man die Definitheit dieser quadratischen Form?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Definitheit der quadratischen Form

Q(x, y, z) = 2x² + 5y² + 2z² + 6xy − 2xz + 2yz

Problem/Ansatz:

Hallo, wie berechnet man diese Aufgabe?

Comments

Es ist \(Q(x,y,z)=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}2&3&-1\\3&5&1\\-1&1&2\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) und
\(\det\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}>0,\det\begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix}>0,\det\begin{pmatrix}2&3&-1\\3&5&1\\-1&1&2\end{pmatrix}<0\).

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Alternativ:  \(Q(x,y,z)=\frac12(2x+3y-z)^2+\frac12(y+5z)^2-11z^2\).

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Und wie willst Du nun damit die Definitheit beweisen?

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Hat er doch gemacht.

Der erste und zweite Hauptminor sind positiv, der dritte ist negativ. Damit ist die Matrix indefinit.

Answer 1

Auch wenn Arsinoé4 bereits die Indefinitheit bewiesen hat,

hier noch zwei "konkrete" Fälle:

\(Q(1,0,0)=2>0\) und \(Q(1,-1,1)=-1 < 0\).

Comments

Nach meinen Berechnungen ist \(\,Q(1,-1,1)=-1\).

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Ja. Du hast Recht. Grundrechenarten waren schon
immer mein Problem ;-)
Habe meine Antwort korrigiert.