berechne den inhalt dieser eingeschlossenen fläche

Question

Aufgabe:

Der graph der Funktion f(x)=x³ - 3x² + 2x schließt mit der x-achse eine Fläche ein. berechne den inhalt dieser eingeschlossenen fläche

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Zur Bestimmung der Fläche, die der Graph von$$f(x)=x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)$$mit der x-Achse einschließt, müssen wir die Funktion von Nullstelle zu Nullstelle integrieren (weil Integrale unterhalb der x-Achse negativ und oberhalb der x-Achse postitiv sind) und die Beträge dieser Teilintegrale addieren.

Die drei Nullstellen \(0;1;2\) kannst du aus der Faktorisierung oben ablesen:$$F=\left|\int\limits_0^1(x^3-3x^2+2x)\,dx\right|+\left|\int\limits_1^2(x^3-3x^2+2x)\,dx\right|$$$$\phantom F=\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]_0^1\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]_1^2\right|=\left|\frac14-0\right|+\left|0-\frac14\right|=\frac14+\frac14=\frac12$$

~plot~ x*(x-1)*(x-2) ; [[0|2,5|-0,5|0,5]] ~plot~

Answer 2

Nullstellen bestimmen:

x^3-3x^2 +2x =0

x(x^2-3x+2)= 0

x=0

x^2-3x-2= 0

(x-1)(x-2)

x= 1 v x= 2

Integriere von Nullstelle zu Nullstelle.

Von den negativen Flächen den Betrag nehmen.

Answer 3

\(f(x)=x^3-3x^2+2x\)

\(f´(x)=3x^2-6x+2\)

\(f´´(x)=6x-6\)

\(6x-6=0\)    →  \(x=1\)      \(f(1)=1^3-3*1^2+2*1=0\)

Nullstellen:

\(x^3-3x^2+2x=0\)   →  \(x*(x^2-3x+2)=0\)   →  \(x_1=0\)

\(x^2-3x+2=0\)     \(x_2=1\)   \(x_3=2\)

Beim Wendepunkt \(W(1|0)\) liegt Punktsymmetrie vor:

\(A=2*\int\limits_{0}^{1}(x^3-3x^2+2x)dx\\=2*\left[\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2\right]_0^1\\=2*(\frac{1}{4}-1+1)]-0\)

\(A=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}FE\)

Comments

Die x^3 habe ich glatt überlesen.

Das Ganze ist kaum leserlich.

Woher kommt diese Verblassung?

---

Spiegelsymmetrie

Gemeint ist vermutlich "Punktsymmetrie".

---

Danke dir! Ich werde es verbessern!

---

Ich habe mir erlaubt, die Grenzen bei den eckigen Klammern zu ergänzen und ein paar Zeilenumbrüche einzufügen.

:-)

Answer 4

Hallo,

Die beiden Flächen haben jeweils einen Inhalt von 0,25 Flächeneinheiten.