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Zur Bestimmung der Fläche, die der Graph von$$f(x)=x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)$$mit der x-Achse einschließt, müssen wir die Funktion von Nullstelle zu Nullstelle integrieren (weil Integrale unterhalb der x-Achse negativ und oberhalb der x-Achse postitiv sind) und die Beträge dieser Teilintegrale addieren.
Die drei Nullstellen \(0;1;2\) kannst du aus der Faktorisierung oben ablesen:$$F=\left|\int\limits_0^1(x^3-3x^2+2x)\,dx\right|+\left|\int\limits_1^2(x^3-3x^2+2x)\,dx\right|$$$$\phantom F=\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]_0^1\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]_1^2\right|=\left|\frac14-0\right|+\left|0-\frac14\right|=\frac14+\frac14=\frac12$$
~plot~ x*(x-1)*(x-2) ; [[0|2,5|-0,5|0,5]] ~plot~
