Bestimme die Galoisgruppe Gal(f/F7)

Question

Aufgabe: Prüfe auf Separabilität und bestimme die Galoisgruppe.

K= F₇ f=x³ - 4

In F₇ betrachten wir f= x³ +3

Prüfe auf Nullstellen: f(0),f(1),...f(6) sind alle größer 0 somit gibt es in F₇ keine Nullstellen.

Da f von Grad 3 ist das Polynom somit irreduzibel.

char(F₇)=7 (größer 0) und die Ableitung von f ist 3x² und in F₇  ist das ≠0

Somit ist f separabel.

Bestimme nun die Galoisgruppe Gal(f/F₇ )

Sei G := Gal(f/F₇ ). Es folgt IGI=⌈Zfk(f/F₇ ) : F₇ ⌉

Bestimme nun den Zerfällungskörper.

Sei α ∈ ℂ, f(α)=0 und  ξ ∈ ℂ primitive 3-te Einheitswurzel in F₇ .

Daraus folgt α, αξ, αξ² sind Nullstellen von f.

Problem/Ansatz:

Ich weiß es fehlt nicht mehr viel aber ich verstehe nicht wie ich nun auf den Grad des Zerfällungskörpers und die Galoisgruppe komme.

Kann mir jemand mit dem letzten Schritt helfen und ihn vielleicht auch erklären.

Danke im Voraus.

Comments

Du schreibst α ∈ ℂ. Was meinst du damit genau?
Was verstehst du unter C ?

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Mit α ∈ ℂ meine ich die Nullstelle (die ich nicht genau kenne) deshalb auch f(α)=0

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Ja, aber was ist C ?

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Achso ℂ sind die komplexen Zahlen (sorry)

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Das kann nicht sein; denn dann wäre ja

\(F_7\) ein Teilkörper von \(\mathbb{C}\),

was offenbar unsinnig ist.

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Mhm okay ich habe mich an einer Lösung einer Ähnlichen aufgabe über dem selben Körper orientiert. dann muss wohl diese auch falsch sein. Danke für dein Hinweis.

In dem Fall muss man sich die letzten Zeilen meines Beweises wegdenken.

Dann fängt wohl mein Problem schon damit an den Zerfällungskörper zu bestimmen

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Du kannst das ganze retten, wenn du unter \(C\)

nicht die komplexen Zahlen, sondern den algebraischen

Abschluss von \(F_7\) verstehst. Allerdings ist

das gar nicht nötig, da du ja die Kronecker-Erweiterung

als \(F_7(\alpha)\) nehmen kannst.

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Okey vielen Dank

ich kenne leider die Kronecker Erweiterung nicht. Aber wenn ich den Körper als Abschluss von F₇  nehmen kann, bleibt der Rest stehen. Somit fehlt mir dann nur noch der letzte Schritt den ich meiner Frage erläutert habe (Grad des Zerfällungskörpers und Galoisgruppe)

Answer 1

Da \(f\) irreduzibel über \(k:=F_7\) ist, müssen wir eine

Nullstelle \(\alpha\) von \(f\) adjungieren und

bekommen so die einfache Erweiterung \(k(\alpha)\) mit

\([k(\alpha):k]=3\). Es ist \(k(\alpha)\cong k[X]/(X^3+3)\),

wobei \(\alpha\) der Restklasse von \(X\) modulo \((X^3+3)\)

entspricht. Das nennt man Kronecker-Erweiterung.

Nun sei also \(k(\alpha)\) irgendwie gegeben mit

\(f(\alpha)=0\). Dann sagst du richtig, dass man alle

Nullstellen von \(f\) in der Gestalt \(\alpha, \zeta\alpha,\zeta^2\alpha\)

bekommt, wobei \(\zeta\) eine primitive 3-te Einheitswurzel ist.

Nun ist aber \(2^3=8=1\), d.h. \(2\) ist eine 3-te Einheitswurzel und wegen

\(2^2+2+1=7=0\) sogar eine primitive 3-te Einheitswurzel.

Die Nullstellen von \(f\) sind daher \(\alpha, 2\alpha, 4\alpha\) ....

Comments

Ah okay verstehe ξ ist also 2

Und dann hab ich den Zerfällungskörper F₇= (α, 2α,4α,..)

Wie kann ich nun den Grad davon bestimmen und danach die Galoisgruppe beschreiben?

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Da 2 im Grundkörper liegt, ist \(k(\alpha, 2\alpha, 4\alpha)=k(\alpha)\).

\(k(\alpha)\) ist bereits der Zerfällungskörper.

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Achso okay und du kommst auf den Grad 3 wegen den 3 Nullstellen?

Dann ist die Galoisgruppe G:= A₃ (Alternierende Gruppe)

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Genau. Die wird erzeugt von dem Automorphismus

\(\sigma(\alpha)=2\alpha\).

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Vielen lieben Dank, du hast mir sehr geholfen :)

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Achso okay und du kommst auf den Grad 3 wegen den 3 Nullstellen?

Nein, sondern weil der Grad einer einfachen Erweiterung

gleich dem Grad des irreduziblen Polynoms ist.