Schnittpunkte ganzrationaler Funktionen mit Parameter bestimmen

Question

Hallo :)

Ich möchte wieder eine Aufgabe zu ganzrationalen Funktionen lösen:

fa(x)=x³-ax²

ga(x)=(1/a)x(x-a)

a∈R/(0)

a)Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Graphen allgemein.

b)Für welche Werte von a gibt es nur zwei gemeinsame Punkte

So, meine erste Frage: a darf alle Werte annehmen, außer 0. In der Funktion ga(x) steht a im Nenner, muss ich jetzt überhaupt Schnittpunkte berechnen oder ist das eine Fake-Aufgabe? Wenn ja ich bin grad nicht in der Lage g(x) aufzulösen. Das 1/a, dass ich eingeklammert habe, ist eigentlich ein Bruch in der Funktion, der ohne Vorzeichen an das x angehängt ist und das wiederum ohne Vorzeichen auf die Klammer, somit alles Produkte. Aber mich irritiert, was ich jetzt zuerst machen muss. Das x in die Klammer reinmultiplizieren oder etwas anderes?

 

LG

Simon

Comments

Ich will natürlich nur die Ansätze wissen und keine vorgerechnete Lösung...

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ga(x)=(1/a)x(x-a)

Ist das vielleicht ein mal zwischen den Klammern ?

g_a ( x ) = ( 1/a ) * ( x-a )

mfg Georg

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Nein, das soll ein x sein ;)

Answer 1

Hi Simon,

was ist denn eine "Fakeaufgabe"?^^


a)

Gleichsetzen und auflösen. Ganz "normal". Ist halt en a dabei.


b)

Du kannst maximal drei Schnittstellen haben (Funktion dritten Grades). Sorge dafür, dass eine doppelt ist ;).


Grüße

Comments

Ja, das ist mir schon klar aber a darf ja nicht 0 sein und wenn es doch im Nenner steht, ist es doch o, oder?

Kannst du mal ga(x) auflösen für mich?

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Was Dir klar ist und was nicht, weiß ich nicht. Deswegen erwähne ich es :P.


g(x) = 1/a*x*(x-a) = 1/a*(x^2-ax) = x^2/a-x

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Hm...

1/a*(x²-ax) leuchtet mir ein, die nächste Zeile nicht.

1/a*x²=x²/a

1/a*-ax=-x

Beider Addieren ergibt x²/a+(-x)

=(x²/a)-x

Oder bin ich völlig irre schon^^?

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Da steht doch bei uns das Gleiche?

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Bei dir steht:

x²/a-x

Bei mir steht:

(x²/a)-x

Ich interpretiere das so, dass -x noch unter den Bruchstruch gehört.

Ist das wirklich so oder ist meins richtig^^?

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Es ist beides richtig, da beides mal das gleiche gemeint ist.

Beachte, dass Punkt- vor Strichrechnung gilt. Es wird also erst dividiert und dann subtrahiert.

Bei x^2/(a-x) wäre beides im Nenner ;).


Mit Klammerschreibweise wie bei Dir ist es natürlich eineindeutig^^.

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ok, nun zu den Schnittpunkten:

fa(x)=x³-ax²

ga(x)=(x²/a)-x

x³-ax²=(x²/a)-x / Nun alles mal a, damit der Bruch weg ist.

ax³-a²x²=x²-ax / -x²,+ax

ax³-a²x²-x²+ax=0

ax³-(a²+1)x²+ax=0

Stimmt das so. Ich habe große Zweifel^^.

Falls doch, wie bestimme ich da jetzt Schnittpunkte?

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Hmm,

im Eingangspost war es noch fa(x) = ax^3-ax^2

Dann wäre es hier: a^{2}x^3-(a^2+1)x^2+ax = 0

 

Sonst aber richtig. Ich würde nun x ausklammern. Dann Mitternachtsformel (bzw. pq-Formel) anwenden ;).

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Habe mich vertippt: Es heißt schon x³-ax²

Super, dass ich wenigstens das ausgerechnet bekomme :)

Vor lauter Polynomdivision habe ich nicht mal erkannt, dass man x ausklammern kann, mann man...^^

Werde gleich mal die Lösung rein stellen!

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Ah ok gut. Ich korrigiere das oben.


Das Ausklammern nie aus dem Auge lassen. Das ist oft ein viel einfacherer Weg :).

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P.S.: Ohne das a vorneran ist alles einfacher und ich würde überhaupt nochmals von neuem faktorisieren. Wird wahrscheinlich einfacher gehen (kannst aber auch fortfahren wie Du es gerade machst).


Ohne pq-Formel etc:

x^3-ax^2 = 1/a*x*(x-a)   |-rechte Seite

x^2(x-a) - 1/a*x*(x-a) = 0  |Ausklammern von x*(x-a)

x(x-a) * (x - 1/a) = 0


:)

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Hm...

Also gleich vorab. Ich rechne mit der abc-Formel

Mein a=a mein b=(-a²-1) mein c=ax

Also mal zur Diskriminante:

b²-4ac=(-a²-1)²-4*a*ax

=a^4+2a²+1-4a²x

=a²(a²+2a-4x)+1

Dann habe ich das a² vorne noch aus der Wurzel radiziert und bin dann auf a²+2a-4x+1 bei der Diskriminante gekommen.

Jetzt blicke ich natürlich gar nicht mehr durch^^.

Erkläre mal, was ich falsch gemacht habe, denn so kann ich ja nicht weiterrechnen.

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Vllt liegt das Problem daran, dass Du da noch ein x reingemogelt hast? Das hat hier nichts verloren.


Die abc-Formel ist an sich ja ein schöne Formel. Da sich die Funktion aber ohne den Vorfaktor a vereinfacht hat, würde ich die abc-Formel hier nicht anwenden. Siehe vorigen Kommentar^^.

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ok, dann ist meine Diskriminante:

a²+2a-3

Wenn es korrekt ist, wie rechne ich dann jetzt weiter.

Ich muss ja hier die Wurzel ziehen.

Kannst du mal hiervon ausklammern:

ax³-(a²+1)x²+ax=0

Das sind ja schließlich die beiden Funktionen zusammengefasst.

Hier kann ich nur x ausklammern und dann Mitternachtsformel.

Kannst du mal bitte so weiterrechnen?

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Nochmal ganz von vorne jetzt :D

ax³-(a²+1)x²+ax=0

x(ax²-(a²+1)x+a=0

a=a

b=(-a²-1)

c=a

D=b²-4ac

=(-a²-1)²-4*a*a

=a^4+2a²+1-4a²

=a^4-2a²+1

Was nun?

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Binomische Formel ;).

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Meine Nullstellen sind:

x1=0

x2=a

x3=1/a

Stimmt das?

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Das ist richtig :).


So, damit hast Du die a) fast erledigt. Bestimme noch die y-Werte.

Die b) kann man fast direkt ablesen^^.

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Mus ich bei der b) meine Diskriminante 0 setzen?

Einen gemeinsamem Punkt gibt es ja immer, durch x=o, folgtlich fehlt noch einer.

Ist mein Verdacht richtig?

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Das ist richtig aber nicht unbedingt notwendig. Du siehst schon im Beitrag davor wie Deine Nullstellen aussehen. Sorge dafür, dass eine doppelt gezählt wird ;).

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Ja, ich habe meine Nullstellen. Aber ich soll ja die a-Werte bestimmen, damit es nur zwei gemeinsame Punkte gibt.

Kannst du mal die Lösung sagen? :)

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Kurz zu den Schnittpunkten:

Für x=0 und x=a komme ich auf S(0/0)

Für x=1/a komme ich auf S(0/(1/a³-1/a)

Ist das soweit richtig?

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Zur ersten Frage.

Du sagtest:

Meine Nullstellen sind:

x1=0

x2=a

x3=1/a

Wenn a = 0 ist, dann wäre x₁ = x₂ und damit hätten wir eine Nullstelle zusammengefasst. Das geht allerdings nicht, da x₃ sonst nicht definiert ist.

Sehr wohl kann man aber x₂ = x₃ wählen, in dem man für a = 1 setzt :).

Damit hat man drei gemeinsame Schnittstellen, denn für a = 1 ist der dreifache Schnittpunkt S(0|0).

Für alle anderen a (mit a≠0) hat man zwei Schnittstellen.

 

Zur zweiten Frage: Das ist richtig. Bestimme noch den Schnittpunkt für x = a :).

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x=a

S(0/0)

Stimmt das?

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Ja das ist richtig ;).

Damit muss meine Antwort von oben modifiziert werden :).