Gaußverfahren nur noch erste Zeile stehen

Question

Was passiert wenn ich nach dem Gaußverfahren nur noch die obere Zeile stehen habe? Möchte den Eigenvektor bestimmen.

Comments

Was meinst du mit Eigenvektor?
Meinst du nicht eher den Kern?

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Nein, ich meine Eigenvektor zum Eigenwert 10. Den Eigenvektor zum Eigenwert 5 habe ich korrekt berechnet (dort ist die 2.Zeile nicht komplett 0 gewesen sodass ich y berechnen konnte). Hier ist jedoch die 2.Zeile komplett 0 und wenn ich z parametrisiere komme ich nicht weiter weil x und y beide unbekannt sind :/

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Du meinst also den Kern der von dir angegebenen Matrix, z.B.

gehören (1,-1,1) und (0,1,-2) dazu.

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Wie lautet denn die Matrix A? Und woher sollen wir

wissen, dass 10 einer ihrer Eigenwerte ist.

Du fragst also nach dem Kern von \(A-10\cdot E_3\) !

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Ahhhh ich muss wenn eine Zeile übrig bleibt also nur noch Werte für x,y,z finden sodass 0=0 gegeben ist. So einfach hab ich gar nicht gedacht :D Diese Bedingung erfüllen auch die Eigenvektoren in der Lösung.

Vielen Dank für die Hilfe, du hast mir sehr auf die Sprünge geholfen! :)

Answer 1

Aloha :)

Du hast als einzige Bedingung an die Lösungen:$$x+2y+z=0\quad\text{bzw.}\quad z=-x-2y$$und kannst damit alle Lösungen hinschreiben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\-x-2y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}$$Der Lösungsraum wird durch 2 linear unabhängige Vektoren aufgespannt.

Zu dem gesuchten Eigenwert gibt es also zwei Eigenvektoren.

Answer 2

Zum rumspielen

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/upUZg79r

zu Deinem Beispiel würde dann ein Eigenraum mit 2 Basis-Eigenvektoren gehören...

wie lautet die ganze Aufgabe