Mathematik LK- Analysis

Question

Aufgabe: b) Gegeben ist die Funktionenschar g_a mit  g_a(x)=a•f(x+2), a ∈ ℝ, a>1. Geben Sie begründet an, wie sich der Flächeninhalt, den der Graph von g_a mit der x-Achse einschließt, im Vergleich zu dem in (1) beschriebenen Flächeninhalt ändert.

Gegeben in (1) : f(x) = -1/2 x² + x + 3/2 mit den Nulstellen  x1 = -1 und x2 = 3

Fläche in war 16/3

Könnte mir jemand bei der Aufgabe b) helfen, ich habe keinen Schimmer wie ich dies begründen soll.

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Titel: Mathematik LK - Analysis

Stichworte: analysis,leistungskurs,abitur

Text erkannt:

Mathematik Leistungskurs - Q1 Klausur 3 (Zeit: \( 35+100 \mathrm{~min} \) ) A.
Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel
A1 Gegeben ist die Funktion \( f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+x+\frac{3}{2} \) mit den Nullstellen \( x_{1}=-1 \) und \( x_{2}=3 \).
\( f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+x+\frac{3}{2} \quad x_{1}=-1 ; x_{2}=3 \)
Geben Sie begründet an, wie sich der Flächeninhalt, den der Graph von ga mit der xbis \( x_{2} \) bildes: \( \int \limits_{-1}^{3} f(x) d x \)
Achse einschließt, im Vergleich zu dem in (1) beschriebenen Flächeninhalt ändert.
\( \begin{array}{c} \int \limits_{-1}^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+x \cdot \frac{3}{2} d x=\left[-\frac{1}{6} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{3}{2} x\right]_{-1}^{3}=\left[-\frac{1}{6} x^{3}+\frac{3}{6 x^{2}}+\frac{9}{6} x\right]_{-1}^{3}=F_{(3)}-F_{(-1)}= \\ -\frac{1}{6} \cdot 27+\frac{3}{6} \cdot 9+\frac{9}{6} \cdot 3-\left(-\frac{1}{6} \cdot(-1)+\frac{3}{6} \cdot 1+\frac{9}{6} \cdot(-1)=-\frac{27}{6}+\frac{27}{6}+\frac{27}{6}-\frac{1}{6}+\frac{3}{6}-\frac{9}{6}=\right. \\ \frac{27}{6}+\frac{5}{6}=\frac{32}{6}=\frac{16}{3} \end{array} \)

Text erkannt:

b) Gegeben ist die Funktionenschar \( g_{a} \) mit \( g_{a}(x)=a \cdot f(x+2), a \in \mathbb{R}, a>1 \).
Geben Sie begründet an, wie sich der Flächeninhalt, den der Graph von ga mit der x-
Achse einschließt, im Vergleich zu dem in (1) beschriebenen Flächeninhalt ändert.
( \( 3+2 \) Punkte)

Könnte mir jemand bei der Aufgabe A1b helfen, ich habe keinen Schimmer wie ich dies begründen soll.

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Frage existierte jedoch wurde sie geschlossen

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Wenn diese Frage, wie das System anzeigt, demnächst gelöscht wird, wird sie dann, wie üblich, mit der ersten (geschlossenen!) Version verschmolzen?

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Yup genau.

Das passiert automatisch nach (glaub) 3 Tagen :).

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Nein Unknown, das erfolgt weder automatisch noch nach 3 Tagen, sondern wird manuell nach 24 Stunden ausgeführt, falls sich jemand mit der entsprechenden Kompetenz dafür findet.

Im angesagten Fall habe ich allerdings die hiesige Frage wieder geöffnet und im Gegenzug das fast zeitgleiche Original des Fragestellers geschlossen, damit Gast az0815 seinen Stern nicht verliert, was aber die Konsequenz einer Verschmelzung mit dem Original gewesen wäre. Dieser Mechanismus ist mir übrigens aus der Chemielounge wohlbekannt.

Answer 1

Gegenüber dem Graphen von \(f\) sind die Graphen von \(g_a\) um zwei Einheiten nach links verschoben und um den Faktor \(a\) gestreckt. Die Verschiebung wirkt sich zwar auf die Lage der Nullstellen, nicht aber auf den Flächeninhalt aus, das heißt \(g_1\) schließt ein gleichgroßes Flächenstück ein wie \(f\). Die Streckung streckt nicht nur den Funktionsgraphen, sondern auch die eingeschlossene Figur, das heißt, die Größe der Einschlussfläche wird ver-\(a\)-facht.

Das lässt sich auch leicht formal zeigen.

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Danke für dir ausführliche Antwort

Answer 2

Ein verschieben einer Funktion entlang der x-Achse ändert sicher nichts am Flächeninhalt die der Graph mit der x-Achse einschließt.

Ein Strecken bzw. Stauchen mit dem Faktor a in Richtung der y-Achse vergrößert die Fläche aber auf das a-Fache der ursprünglichen Fläche.

Ist das so klar?

Answer 3

Der Graph verschiebt sich um 2 Einheiten nach links: => andere Nullstellen

Beispiel mit a = 5

~plot~ 5*(-0.5(x+2)^2+x+2+1.5);[[-3|4|-30|16]] ~plot~