Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Der Bodenkleber muss die Länge \((2x+2y)\) überdecken, der Seitenkleber die Länge \(4z\).
Die zu minimierende Kostenfunktion ist daher:$$f(x;y;z)=6\cdot(2x+2y)+2\cdot4z=12x+12y+8z\;\stackrel{!}{\to}\;\text{Minimum}$$
Das Aquarium soll \(230\,\ell\) Wasser fassen. Das entspricht \(230\,\mathrm{dm}^3\) bzw. \(0,23\,\mathrm m^3\).
Damit haben wir eine konstante Nebenbedingung:$$g(x;y;z)=xyz=0,23\stackrel!=\text{const}$$Wir bemerken hier, dass alle Parameter positiv sein müssen.
Nach Lagrange muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, heißt das:$$\operatorname{grad}f(x;y;z)=\lambda\cdot\operatorname{grad}{g(x;y;z)}\implies\begin{pmatrix}12\\12\\8\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}yz\\xz\\xy\end{pmatrix}$$
Wir dividieren die Gleichungen für die 1-te Koordinate durch die für die 2-te Koordinate:$$\frac{12}{12}=\frac{\lambda\cdot yz}{\lambda\cdot xz}\quad\stackrel{(\lambda,z\ne0)}{\implies}\quad1=\frac yx\quad\implies\quad \pink{x=y}$$
Wir dividieren die Gleichungen für die 1-te Koordinate durch die für die 3-te Koordinate:$$\frac{12}{8}=\frac{\lambda\cdot yz}{\lambda\cdot xy}\quad\stackrel{(\lambda,y\ne0)}{\implies}\quad\frac32=\frac zx\quad\implies\quad\pink{z=\frac32\,x}$$
Die beiden pinken Lagrange-Forderungen setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$0,23\stackrel!=x\cdot y\cdot z=x\cdot x\cdot\frac32\,x=\frac32\,x^3\implies x^3=0,23\cdot\frac23\implies x\approx0,5352$$
Die optimalen Abmessungen sind daher:$$x=y\approx0,5352\,\mathrm m\quad;\quad z\approx0,8029\,\mathrm m$$
Die minimlaen Kosten liegen bei \(19,27\,€\).
