Wie baut man Aussagen in Zuordnungsvorschriften von Funktionen ein?

Question

Ich komme auf das Problem durch die Modulo-Operation. Ich will es rein formal darstellen. Bei der Zuordnungsvorschrift gibt es aber Probleme. Wie baue ich die Aussagen über die Variablen ein, in die a zerlegt wird?

mod: Z² → N
(a,m) ↦ a - qm, wobei q∈Z und 0<a-qm≤m

Das "wobei ..." ist aber nicht ganz klar. Wenn ich es als logisches Und schreiben würde, müsste die Zuordnungsvorschrift eine Aussage sein, aber das ist nicht so.

Comments

Ich konnte mir die Frage selbst beantworten. Die Modulo-Operation ist ja eine Definition. Man steckt zwei Objekte a und m rein und es wird ersetzt durch "a - qm".

Beispielsweise schreibt man: a mod m = 2. Diese Aussagenform verwendet die Definition der Modulo-Operation. Ausgeschrieben heißt das:

a∈ℤ ∧ m∈ℤ ∧ a-qm∈ℕ ∧ q∈ℤ ∧ 0<a-qm≤m ∧ a-qm=2

Wenn man Variablen einsetzt, wird das zu einer Aussage, wie:

12∈ℤ ∧ 5∈ℤ ∧ 12-3*5∈ℕ ∧ 3∈ℤ ∧ 0<12-3*5≤5 ∧ 12-3*5=2

Ich habe für q die 3 eingesetzt. Die Aussage ist in dem Fall falsch. Jedenfalls ist es eine Aussage.

Answer 1

\((a,m)\mapsto a - \left\lfloor\frac{a}{m}\right\rfloor\cdot m \)

Dabei ist

        \(\left\lfloor x\right\rfloor = \max\{n\in \mathbb{N} | n \leq x\}\)

für jedes \(x\in \mathbb{R}\).