Beweise diese Variante von L'Hopital.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgende Variante der Regel von DE L’HÔPITAL – aber ohne die (übliche) Verwendung des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung (Hinweis: Die Definition der Ableitung und Grenzwertsätze erweisen sich als ausreichend.):
Für reelle a< b seien f, g : [a, b] → R stetig auf [a, b] und differenzierbar an der Stelle t₀ ∈[a,b] mit f(t₀)=0=g(t₀) und g′(t₀)≠0. Dann gilt:
(a) Es gibt ein hinreichend kleines z>0 mit g(t)≠0 für alle t∈[a,b] mit 0<|t−t₀|<z.

(b) Der Limes von $$\frac{f(t)}{g(t)}$$ für t→ t₀ (t ≠ t₀) existiert
(c) lim $$\frac{f(t)}{g(t)}$$ = $$\frac{f(t_{0})}{g(t_{0})}$$

Comments

Hallo

Irgendwas ist mit deinem post schief gegangen!

a) g(t)≠0 für alle t∈[a,b] mit 0<|t−t0|<z. Aber g(t)=0 für t=t0 und |t0-t0|<z für alle z>0

b) es kommt keine Ableitung vor

Gruß lul

Answer 1

Hallo,

ich schreibe mal s statt \(t_0\). Wenn zum Beispiel \(g'(s)>0\), dann gilt für \(t>s\):

$$\frac{g(t)-g(s)}{t-s} \to g'(s) \Rightarrow g(t)-g(s)>0 \text{  für }s<t<s+z$$

für hinreichend kleines positives z; sonst gäbe es eine Folge \((t_n)\), für die der Differenzenquotient gegen 0 geht.

Zur Grenzwertaussage:

$$\frac{f(t)}{g(t)}=\frac{f(t)-f(s)}{t-s}\frac{t-s}{g(t)-g(s)} \to\frac{f'(s)}{g'(s)} , \quad t \to s$$

Der Grenzwert existiert, weil f und g bei s differenzierbar sind und \(g'(s) \neq 0\)

Gruß Mathhilf