Geringster Abstand bezüglich quadratischer euklidischer Norm

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( x^{(1)}, \ldots, x^{(m)} \in \mathbb{R}^{n} \). Finden Sie \( x \in \mathbb{R}^{n} \), das bezüglich quadratischer euklidischer Norm den geringsten Abstand zu \( x^{(1)}, \ldots, x^{(m)} \) besitzt und erläutern Sie das Ergebnis geometrisch, wenn es sich bei dem Ergebnis um ein Minimum handelt.
[9 Pkt]

Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß nicht wie ich an die Aufgabe löse. Meine Idee wäre es irgendwie eine implizite Funktion zu definieren und dann abzuleiten. Ich weiß aber nicht wie die Funktion konstruieren soll.

Comments

Die Formulierung kommt mir etwas unklar vor. Sollte es vielleicht darum gehen, das folgende Funktional zu minimieren?

$$f(x):=\sum_{i=1}^m \|x^{(i)}-x\|^2$$

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Ja ich denke das sollte es sein. Ich weiss nur nicht wie ich es für alle Vektoren x⁽ⁱ⁾ machen soll weil die Funktionvorschrift von f dann ℝ^(m+1)*n nach ℝ^m. Wie soll dann die Jacobimatrix aussehen oder wie finde ich sonst das Minimum.

Answer 1

Hallo,

die \(x^{(i)}\) sind fest gegebene Punkte. In der obigen Formulierung ist daher "nur" \(f:\R^n \to \R\). Wenn man das komponentenweise ausschreibt, hat mna.

$$f(x)=f(x_1, \ldots,x_n)=\sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^n(x_k^{(i)}-x_k)^2$$

Damit ist die partielle Ableitung:

$$\partial_jf(x)=-\sum_{i=1}^m 2(x_j^{(i)}-x_j)=0 \iff x_j=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m x_j^{(i)}$$

Also liegt das Minimum gerade beim Schwerpunkt der m Punkte.

Gruß Mathhilf