Nullstellen von dieser Funktion?

Question

Aufgabe:

Nullstellen von x^3-3x^2-10x+24=0

Problem/Ansatz:

Huhu! Gesucht sind die Nullstellen folgender Funktion. Ich dachte nun eigentlich, dass man x einfach ausklammert, sodass x1=0 und der restliche Teil in der Klammer dann mit der pq-Formel gelöst wird. Damit komme ich jedoch nicht auf das richtige Ergebnis.

In der Musterlösung wird mit Polynomdivision gearbeitet, soweit ich weiß muss diese aber nur der LK können (Abitur). Ich bin im Grundkurs.

Was mache ich falsch?

Comments

zur Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input?i=factorise+x3-3x2-10x%2B24%3D0+

Answer 1

Hallo,

eine Lösung musst du durch Ausprobieren finden. Ganzzahlige Lösungen müssen Teiler von 24 sein. Dadurch werden die Kandidaten schon eingeschränkt.

Lösungen sind 2; 4 und -3.

Angenommen du findest x=2. Dann kannst du ausklammern.

x^3-3x^2-10x+24

= x^3-2x^2  -x^2+2x -12x+24

=(x-2)(x^2-x-12)

x^2-x-12=0 → x=-3 oder x=4

Wenn du den Taschenrechner benutzen darfst, geht es auch mit der Solve-Taste.

:-)

Answer 2

Aloha :)

Suche zuerst ganzzahlige Nullstellen von$$f(x)=x^3-3x^2-10x+\pink{24}$$Diese ganzzahligen Nullstellen müssten Teiler der Zahl ohne \(x\) sein, also von der \(\pink{24}\).

Die Teiler von \(\pink{24}\) sind: \(\pm1,\pm2\,\pm3\,\pm4\,\pm6\,\pm12\,\pm24\)

Setzt du diese Kandidaten ein, findest du Nullstellen bei \(x=-3\), \(x=2\) und \(x=4\).

Da ein Polynom 3-ten Grades höchstens 3 Nullstellen hat, sind das alle.

Du kannst das Polynom daher auch so schreiben:$$f(x)=(x+3)(x-2)(x-4)$$

Comments

Alles klar, ganz lieben Dank :)

Nur nochmal zum Verständnis: Kann ich einen Term in dieser Form (also x^3+x^2+x) durchs Ausklammern lösen (auf Nullstellen untersuchen), wenn hinten keine Konstante gegeben ist?

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Ja, dann könntest du x ausklammern:

$$ x^3+x^2+x = x(x^2+x+1)$$

$$x_0 = 0$$

und den quadratischen Term dann mit pq-Formel.