Haben mathematische Variablen einen Typen? Ist alles, was man schreibt eine Aussage?

Question

(Wenn an irgendeiner Stelle etwas nicht passt, dann bitte korrigieren!)

Ich denke, man kann für eine Variable x grundsätzlich jedes Objekt einsetzen, egal ob es eine Zahl, eine Menge oder sonst was ist.

In einer Aussage, wie x∈ℝ wird sie dann "beschränkt". Beispielsweise ist ein Objekt x in {x | x∈ℝ} genau dann enthalten, wenn x∈ℝ gilt, aber es ist nicht so, als ob x nichts anderes sein kann, beispielsweise bei {x | x∈ℕ ∨ x∈{rot,grün,blau}} hat x nicht mehr den Charakter, als hätte sie einen "Typen", wie in Programmiersprachen.

Was ist aber, wenn man schreibt {x | 1 + x = 2} und man fragt sich, ob die Menge ℝ Element der Menge ist? Mit der Annahme, dass Variablen keinen Typen haben, ist das möglich. Als Antwort denke ich, dass die Operation + voraussetzt, dass beide Operanden auch Zahlen sind, ungefähr so: {x | x∈ℤ ∧ 1 + x = 2}.

Wenn man schreibt 1+1, dann ist das ein Objekt, nämlich die 2. Wenn man schreibt 1+x, dann kann man ja alles Mögliche für x einsetzen. Was ist aber, wenn man für x die Menge ℝ einsetzt? In dem Fall kann man ja nicht einfach per Konjunktion eine Aussage anhängen, die das ganze dann falsch macht, weil es eine Zahl ist und keine Aussage.

Ich denke auch, dass Aussagen, ebenso wie alles, was irgendwie aus Mengen konstruiert wurde, Objekte sind, denn man könnte ja meinen, dass sowas wie 1+x garnicht alleine stehen kann, weil es keine Aussage ist. Mir dieser Annahme ist sowas wie 1+x nicht weniger gültig wie 1+x=2. Wären Aussagen keine Objekte, gäbe es keine Boolesche Algebra, denn diese hat ja die Menge {0,1} oder {falsch, wahr} und das sind offensichtlich Objekte.

Die Frage ist: Was ist 1+0,5 für ein Ding?

Danke schon mal fürs durchlesen.

Comments

Normalerweise legt man eine Grundmenge (Universum)

zugrunde, aus denen die Objekte stammen, über die man spricht.

Elemente der Grundmenge sind dann sozusagen vom selben "Typ".

Answer 1

als hätte sie einen "Typen", wie in Programmiersprachen.

Die Ansicht gibt's; nennt sich Typentheorie. Ist als Fundament der Mathematik etwas aus der Mode geraten.

{x | 1 + x = 2}

Damit ein solcher Ausdruck Sinn ergibt, musst du zunächst festlegen, was 1, + und 2 sein soll. In manchen Logiken musst du auch noch festlegen, was = bedeutet.

Sobald das festgelegt ist, sollte eigentlich klar sein, ob die Menge ℝ Element der Menge ist oder nicht. Außer dass {x | 1 + x = 2} eventuell überhaupt keine Menge ist. Siehe Aussonderungsaxiom.

Was ist aber, wenn man für x die Menge ℝ einsetzt?

Dann bekommt man das Objekt 1 + ℝ anstatt des Objektes 1 + 1. Ob die Aussage 1 + ℝ = 2 wahr ist, hängt davon ab wie du 1, +, ℝ, = und 2 definiert hast. Ich kenne zwei Bereiche, in denen der Ausdruck 1 + ℝ unterschiedlich definiert ist.

weil es eine Zahl ist und keine Aussage.

Ich weiß'nicht worauf sich "es" in diesem Satz bezieht.

Was ist 1+0,5 für ein Ding?

Das hängt von der Betrachtungsebene ab. Syntaktisch gesehen ist es ein Term. Semantisch gesehen ist es der Wert des Terms. Üblicherweise ist es eine etwas seltsame Notation für die Zahl 3/2.

Antworten auf Fragen dieser Art findest du, wenn du dich mit mathematischer Logik beschäftigst.

Comments

{x | 1 + x = 2}

Hier sind 1 und 2 Elemente aus ℤ und + die Addition in ℤ. Sie ist nur für ganze Zahlen definiert.

Bei der letzten Frage wollte ich eigentlich etwas anderes schreiben, nämlich "Was ist 1+ℝ für ein Ding?"

Das Problem ist, glaube ich, mein Verständnis von Funktionen.

Ich dachte mir f: A→B, a↦b heißt a∈A∧b∈B und noch f:=b und wenn man f(a) irgendwo verwendet wird das einfach durch b ersetzt, weil a↦b. Wenn man es sich so vorstellt, dann heißt "f ist für a nicht definiert", dass a∉A, aber es ist immernoch eine Aussage die falsch ist.

Jetzt komme ich auf Folgendes. f: A→B, a↦b heißt eine Definition für jedes a∈A der Form f(a):=b, wobei a den Gültigkeitsbereich nur in der Definition hat.

Sowas wie 1+ℝ ist dann nicht irgendwie falsch, wie ich es mir vorher dachte, sondern eben einfach nicht definiert. Es ist also gar kein Ding, um meine Frage zu beantworten.

Im Fall von {x | 1 + x = 2}, wenn man hier ℝ einsetzt, dann ist 1+ℝ nicht definiert und die Aussage 1+ℝ=2 ist damit jedenfalls nicht wahr, also ist ℝ nicht enthalten.