Wie beweist man diese Eigenschaften der Standardnormalverteilung?

Question

Aufgabe:

…

Es sei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Zeigen Sie
mittels Integrationsregeln, dass für alle x ∈ R :
(a) Φ(−x) = 1 − Φ(x)
(b) Φ(x) − Φ(−x) = 2Φ(x) − 1

Problem/Ansatz:

Wie beweist man diese beiden Aufgaben?

Answer 1

(a) Forme die Gleichung

        \(\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}t^{2}}\mathrm{d}t+\int_{x}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}t^{2}}\mathrm{d}t=1\)

um.

(b) Setze (a) in Φ(x) − Φ(−x)  ein und forme um.

Comments

Danke aber wie beweise ich es, nachdem ich es umgeformt habe?

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Forme weiter um bis du

        \(\int_{-\infty}^{-x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}t^{2}}\mathrm{d}t = 1 - \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}t^{2}}\mathrm{d}t\)

hast. Rufe dir dazu in Erinnerung, welche Integrationsregeln es gibt und dass die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung gerade ist.

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Danke aber wie beweise ich es, nachdem ich es umgeformt habe?

Wenn du es umgeformt hast, sollte dort die Gleichung stehen, die du beweisen solltest. Ansonsten bist du mit dem Umformen noch nicht fertig.