Aufgabe:
Wir betrachten
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}, & \text { falls } x \neq 0 \\ 0, & \text { sonst. } \end{array}\right. \)
(a) Zeigen Sie, dass \( f \) beliebig häufig differenzierbar ist und dass für jedes \( n \in \mathbb{N}_{0} \)
\( f^{(n)}(x)=\left\{\begin{array}{ll} p_{n}\left(\frac{1}{x}\right) \mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}, & \text { falls } x \neq 0, \\ 0, & \text { sonst }, \end{array}\right. \)
für ein Polynom \( p_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gilt.
Problem/Ansatz:
Wir zeigen das f beliebig häufig diff´bar ist über eine vollständige Induktion:
Induktionsanfang n=1:
Für f´(x) die Ableitung bestimmt: f´(x)= (2/x^3)*e^(-1/x^2)
Der Ausdruck stimmt mit dem n-ten Ausdruck ein, das Polynom für n=1, ist demnach (2/x^3). Ich bin mir hier aber nicht sicher ob ich das so machen darf, für den (n+1) der Induktion bin ich so vorgegangen:
f^(n+1) = (f^n(x)´
= (p_n(1/x)*e^(-(1/x^2))´
Diesen Ausdruck ableiten
=(p_n(1/x)*(p_1(1/x)*)*e^(-(1/x^2)
Für (2/x^3) p_1 eingesetzt.
Durch p_n*p_1, ist ja p_(n+1), damit wäre die Induktion abgeschlossen oder mach ich irgendwo einen Fehler?
