Komplexe Zahlen potenzieren?

Question

Aufgabe:

(5+i)^19

Problem/Ansatz:

Hey Leute, wie kann das lösen?

Answer 1

Hallo,

\( (5+i)^{19} \)

Satz von Moivre:

\( \begin{array}{c}\mathrm{z}^{\mathrm{n}}=\mathrm{r}^{\mathrm{n}}(\cos (\mathrm{n} \varphi)+i \sin (\mathrm{n} \varphi)) \\ \mathrm{mit} \\ \mathrm{r}=|z|=|\mathrm{a}+i \mathrm{~b}|=\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}}\end{array} \)

n=19

z=5+i

r= √26

 \( \varphi=\arctan \left(\frac{1}{5}\right) \)

 \( (5+i)^{19}=5429503678976 \sqrt{26}\left(\cos \left(19 \arctan \left(\frac{1}{5}\right)\right)+i \sin \left(19 \arctan \left(\frac{1}{5}\right)\right)\right) \)

Answer 2

Es gibt verschiedene Verfahren, wie man das Lösen kann. Langt ein Näherungswert, dann wandel die komplexe Zahl 5 + i in die e-Notation um und nimm davon die 19 Potenz. Das kann man dann wieder in die kartesische Form umwandeln.