Potenzieren von komplexen Zahlen. Geben Sie den Realteil und den Imaginärteil an

Question

Aufgabe:

Geben Sie von folgender Zahl den Realteil und den Imaginärteil an:

(\( \frac{1+i}{√2})^{2019} \)
Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung, wie man das auflösen soll. Als Tipp wurde mitgegeben: z=x+iy=|z|*e^iπ

Damit komme ich aber leider auch kein Stück weiter.

Kann mir irgendwer weiterhelfen?

Danke =)

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten zuerst die Klammer:$$\frac{1+i}{\sqrt2}=\underbrace{\frac{1}{\sqrt2}}_{=Re}+\underbrace{\frac{1}{\sqrt2}}_{=Im}i=\sqrt{\underbrace{\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}_{=Re^2}+\underbrace{\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}_{=Im^2}}\cdot \exp\left(i\arctan\left(\frac{\overbrace{1/\sqrt2}^{Im}}{\underbrace{1/\sqrt2}_{=Re}}\right)\right)$$$$\phantom{\frac{1+i}{\sqrt2}}=\sqrt1\cdot e^{i\arctan(1)}=e^{i\frac{\pi}{4}}$$Jetzt nehmen wir den Exponent 2019 hinzu:

$$\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^{2019}=\left(e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{2019}=e^{i\frac{2019}{4}\pi}=e^{i\left(504+\frac{3}{4}\right)\pi}=e^{i\cdot504\pi}\cdot e^{i\frac{3}{4}\pi}=(\underbrace{e^{i2\pi}}_{=1})^{252}\cdot e^{i\frac{3}{4}\pi}$$$$\phantom{\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^{2019}}=e^{i\frac{3}{4}\pi}=\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right)+i\,\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right)=-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{i}{\sqrt2}$$