Von Gleichung in Vektordarstellung

Question

Aufgabe:

Wenn ich vor mir eine Gleichung in Parameterdarstellung habe (also mit Vektoren), dann weiß ich, wie ich davon ausgehend eine „normale“ Gleichung der Form x+y=2 bilden kann (ich muss den Normalvektor bilden, das dann gleichsetzen, etc.).

Kann mir vielleicht jemand erklären, wie das umgekehrt funktioniert? Also wie man von einer „normalen“ Gleichung zu einer Parameterdarstellung gelangt? Danke

Answer 1

Aloha :)

Bleiben wir bei deinem Beispiel \((x+y=2)\).

Stell die Gleichung nach einer Koordinate um, z.B. so: \((y=2-x)\).

Nun schreibst du alle Vektoren explizit auf:$$\binom{x}{y}=\binom{x}{2-x}=\binom{0}{2}+x\binom{1}{-1}$$

Da \(x\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden kann, kannst du dafür auch jede andere reelle Variable einsetzen.

Comments

Danke, der linke Teil macht für mich Sinn. Leider verstehe ich nicht ganz wie man auf den Teil rechts vom „Ist gleich“ kommt. Könnten Sie mir das evtl. nochmals erläutern?

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Wir haben ja die Gleichung für die Gerade nach \(y\) umgestellt:$$y=2-x$$

Das kann ich als Koordinate einsetzen:$$\binom{x}{y}=\binom{x}{2-x}$$

Diesen Vektor kann ich aufteilen in einen Anteil ohne \(x\) und einen Anteil mit \(x\):$$\binom{x}{y}=\binom{x}{2-x}=\binom{0+x}{2-x}=\binom{0}{2}+\binom{x}{-x}$$

Schließlich kann ich \(x\) als freie Variable vor den Vektor ziehen:$$\binom{x}{y}=\binom{x}{2-x}=\binom{0+x}{2-x}=\binom{0}{2}+\binom{x}{-x}=\binom{0}{2}+x\binom{1}{-1}$$

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Super, dankeschön! Das hat mir wirklich weitergeholfen!

Answer 2

Wenn du das Verfahren aus der Antwort bei einer Klausur vergessen solltest, kannst du auch so vorgehen:

Bestimme zwei Punkte auf der Geraden und verwende die Zwei-Punkte-Form.

x+y=2

x=0 → y=2

x=2 → y=0

$$ g: \vec x = \binom02 + r \binom{2}{-2}$$