Aloha :)
Du hast die Variablen noch nicht vollständig getrennt. Trennung heißt, dass die eine Variable nur links und die andere Variable nur rechts vom Gleichheitszeichen auftaucht:y′=9−6x2⟹dxdy=6−9x2⟹dy=6−9x2dx
Jetzt sind die Variablen getrennt.
Zur Berechnung des Integralsy=∫6−9x2dx=6∫1−23x2dxbietet sich die Substitutions-Methode an:23x2= : sin2u⟹x=32sinu⟹dudx=32cosu⟹dx=32cosudu
Wir setzen in das Integral ein:y=6∫1−23x2dx=6∫1−sin2u⋅32cosudu=∫2cos2uduy=∫(1+cos(2u))du=u+21sin(2u)+C
Vor der Rücksubstitution ist u=arcsin(23x) klar. Den Sinus-Term schreiben wir um:21sin(2u)=sin(u)cos(u)=sin(u)1−sin2(u)=23x1−23x2=2x6−9x2
Das setzen wir ein und sind schon fertig:y(x)=arcsin(23x)+2x6−9x2+C