0 Daumen
286 Aufrufe

Aufgabe:

Berechnung der allg. Lösung.

Funktion: y y^{\prime} =96x2 \sqrt{9-6x^{2}}


Problem/Ansatz:

Ich habe versucht durch Trennung der der Variablen zu nutzen.

dydx \frac{dy}{dx} 96x2 \sqrt{9-6x^{2}}

\int\limits_{}^{}  19x2 \frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}} dy=  \int\limits_{}^{} dx


Weiß jemand wie es weiter geht?

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Du hast die Variablen noch nicht vollständig getrennt. Trennung heißt, dass die eine Variable nur links und die andere Variable nur rechts vom Gleichheitszeichen auftaucht:y=96x2    dydx=69x2    dy=69x2dxy'=\sqrt{9-6x^2}\implies\frac{dy}{dx}=\sqrt{6-9x^2}\implies dy=\sqrt{6-9x^2}\,dx

Jetzt sind die Variablen getrennt.

Zur Berechnung des Integralsy=69x2dx=6132x2dxy=\int\sqrt{6-9x^2}\,dx=\sqrt6\int\sqrt{1-\frac32x^2}\,dxbietet sich die Substitutions-Methode an:32x2sin2u    x=23sinu    dxdu=23cosu    dx=23cosudu\green{\frac32x^2\eqqcolon\sin^2u}\implies x=\sqrt{\frac23}\sin u\implies\frac{dx}{du}=\sqrt{\frac23}\cos u\implies \pink{dx=\sqrt{\frac23}\cos u\,du}

Wir setzen in das Integral ein:y=6132x2dx=61sin2u23cosudu=2cos2uduy=\sqrt6\int\sqrt{1-\green{\frac32x^2}}\,\pink{dx}=\sqrt6\int\sqrt{1-\green{\sin^2u}}\cdot\pink{\sqrt{\frac23}\cos u\,du}=\int\blue{2\cos^2u}\,duy=(1+cos(2u))du=u+12sin(2u)+C\phantom y=\int\blue{\left(1+\cos(2u)\right)}\,du=u+\frac12\sin(2u)+C

Vor der Rücksubstitution ist u=arcsin(32x)u=\arcsin\left(\sqrt{\frac32}x\right) klar. Den Sinus-Term schreiben wir um:12sin(2u)=sin(u)cos(u)=sin(u)1sin2(u)=32x132x2=x269x2\frac12\sin(2u)=\sin(u)\cos(u)=\sin(u)\sqrt{1-\sin^2(u)}=\sqrt{\frac32}x\sqrt{1-\frac32x^2}=\frac x2\sqrt{6-9x^2}

Das setzen wir ein und sind schon fertig:y(x)=arcsin(32x)+x269x2+Cy(x)=\arcsin\left(\sqrt{\frac32}x\right)+\frac x2\sqrt{6-9x^2}+C

Avatar von 152 k 🚀
0 Daumen

Hallo

die Variablen sind doch schon getrennt  du hast sie "enttrennt"

das ist eigentlich keine Dgl sondern y ist die Stammfunktion der rechten Seite.

oder
dy=96x2dx dy= \sqrt{9-6x^2} dx

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀
0 Daumen

Hallo,

Trennung der der Variablen ist richtig.

dy/dx= 96x2 \sqrt{9-6x^2}

dy= 96x2 \sqrt{9-6x^2} dx

das rechte Intergral kann Du mit der Substitution

x=32 \sqrt{\frac{3}{2}} *sin(z) lösen

siehe Integralrechner:

https://www.integralrechner.de/

Avatar von 121 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage