Die allg. Lösung einer DGL berechnen?

Question

Aufgabe:

Berechnung der allg. Lösung.

Funktion: $y^{\prime}$ =$\sqrt{9-6x^{2}}$

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht durch Trennung der der Variablen zu nutzen.

$\frac{dy}{dx}$ = $\sqrt{9-6x^{2}}$

$\int\limits_{}^{}$ $\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}$ dy= $\int\limits_{}^{}$ dx

Weiß jemand wie es weiter geht?

Answer 1

Aloha :)

Du hast die Variablen noch nicht vollständig getrennt. Trennung heißt, dass die eine Variable nur links und die andere Variable nur rechts vom Gleichheitszeichen auftaucht:$$y'=\sqrt{9-6x^2}\implies\frac{dy}{dx}=\sqrt{6-9x^2}\implies dy=\sqrt{6-9x^2}\,dx$$

Jetzt sind die Variablen getrennt.

Zur Berechnung des Integrals$$y=\int\sqrt{6-9x^2}\,dx=\sqrt6\int\sqrt{1-\frac32x^2}\,dx$$bietet sich die Substitutions-Methode an:$$\green{\frac32x^2\eqqcolon\sin^2u}\implies x=\sqrt{\frac23}\sin u\implies\frac{dx}{du}=\sqrt{\frac23}\cos u\implies \pink{dx=\sqrt{\frac23}\cos u\,du}$$

Wir setzen in das Integral ein:$$y=\sqrt6\int\sqrt{1-\green{\frac32x^2}}\,\pink{dx}=\sqrt6\int\sqrt{1-\green{\sin^2u}}\cdot\pink{\sqrt{\frac23}\cos u\,du}=\int\blue{2\cos^2u}\,du$$$$\phantom y=\int\blue{\left(1+\cos(2u)\right)}\,du=u+\frac12\sin(2u)+C$$

Vor der Rücksubstitution ist $u=\arcsin\left(\sqrt{\frac32}x\right)$ klar. Den Sinus-Term schreiben wir um:$$\frac12\sin(2u)=\sin(u)\cos(u)=\sin(u)\sqrt{1-\sin^2(u)}=\sqrt{\frac32}x\sqrt{1-\frac32x^2}=\frac x2\sqrt{6-9x^2}$$

Das setzen wir ein und sind schon fertig:$$y(x)=\arcsin\left(\sqrt{\frac32}x\right)+\frac x2\sqrt{6-9x^2}+C$$

Answer 2

Hallo

die Variablen sind doch schon getrennt  du hast sie "enttrennt"

das ist eigentlich keine Dgl sondern y ist die Stammfunktion der rechten Seite.

oder
$dy= \sqrt{9-6x^2} dx$

Gruß lul

Answer 3

Hallo,

Trennung der der Variablen ist richtig.

dy/dx= $\sqrt{9-6x^2}$

dy= $\sqrt{9-6x^2}$ dx

das rechte Intergral kann Du mit der Substitution

x=$\sqrt{\frac{3}{2}}$ *sin(z) lösen

siehe Integralrechner:

https://www.integralrechner.de/