Aloha :)
Du hast die Variablen noch nicht vollständig getrennt. Trennung heißt, dass die eine Variable nur links und die andere Variable nur rechts vom Gleichheitszeichen auftaucht:$$y'=\sqrt{9-6x^2}\implies\frac{dy}{dx}=\sqrt{6-9x^2}\implies dy=\sqrt{6-9x^2}\,dx$$
Jetzt sind die Variablen getrennt.
Zur Berechnung des Integrals$$y=\int\sqrt{6-9x^2}\,dx=\sqrt6\int\sqrt{1-\frac32x^2}\,dx$$bietet sich die Substitutions-Methode an:$$\green{\frac32x^2\eqqcolon\sin^2u}\implies x=\sqrt{\frac23}\sin u\implies\frac{dx}{du}=\sqrt{\frac23}\cos u\implies \pink{dx=\sqrt{\frac23}\cos u\,du}$$
Wir setzen in das Integral ein:$$y=\sqrt6\int\sqrt{1-\green{\frac32x^2}}\,\pink{dx}=\sqrt6\int\sqrt{1-\green{\sin^2u}}\cdot\pink{\sqrt{\frac23}\cos u\,du}=\int\blue{2\cos^2u}\,du$$$$\phantom y=\int\blue{\left(1+\cos(2u)\right)}\,du=u+\frac12\sin(2u)+C$$
Vor der Rücksubstitution ist \(u=\arcsin\left(\sqrt{\frac32}x\right)\) klar. Den Sinus-Term schreiben wir um:$$\frac12\sin(2u)=\sin(u)\cos(u)=\sin(u)\sqrt{1-\sin^2(u)}=\sqrt{\frac32}x\sqrt{1-\frac32x^2}=\frac x2\sqrt{6-9x^2}$$
Das setzen wir ein und sind schon fertig:$$y(x)=\arcsin\left(\sqrt{\frac32}x\right)+\frac x2\sqrt{6-9x^2}+C$$
