Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass… Lea oder Mia ...

Question

Aufgabe:

Mia und Lea werfen mit Steinen abwechselnd auf eine Konservendose.

Mia trifft in jedem Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 ;

Lea mit 1/10. Mia beginnt mit Werfen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass…
i. …Lea die Dose als erste in ihrem zweiten Wurf trifft?
ii. …die Dose durch die ersten vier Steine nicht getroffen wird?

b) Angenommen nur Mia wirft – nach dem wievielten ihrer Steine liegt die Wahrscheinlichkeit, dass die Dose mindestens ein Mal getroffen wurde, bei mindestens 99.999%?

c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lea die Dose als erste trifft, wenn die beiden bis zum ersten Treffer werfen?

Problem/Ansatz:

Wahrscheinlichkeit, Stochastik

Answer 1

a)1. 5/6*9/10*5/6*1/10

2. (5/6)^2*(9/10)^2

b) P(X>=1) = 1-P(X=0)>=0,99999

1-(5/6)^n >=0,99999

(5/6)^n <=0,00001

n>= ln0,00001/ln(5/6)

n= 64

c) Wann soll der 1. Treffer sein? Beim 64. Mal?

Answer 2

Zu c)

5/6*1/10 +5/6*9/10*5/6*1/10 +5/6*9/10*5/6*9/10*5/6*1/10+...

=5/6*1/10*(1 +(5/6*9/10)+(5/6*9/10)²+...)

=1/12 * (1 + 0,75 +0,75² +...)      Geometrische Reihe

...

=1/3

:-)

Erläuterung:

Lea kann bei ihrem ersten Wurf treffen, oder bei ihrem zweiten, oder bei ihrem dritten, ...

Comments

Lea kann bei ihrem ersten Wurf treffen, oder bei ihrem zweiten, oder bei ihrem dritten, ...

Wo welchem erste Treffer gehst du?

Wann soll der eintreten?

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Einfachere Alternative :

Wenn beide nach der ersten Runde nicht getroffen haben, geht das Spiel unter gleichen Bedingungen von vorn los.
Gewinnwahrscheinlichkeiten in der ersten Runde:
P₁(M)=1/6 , P₁(L)=5/6*1/10=1/12. M.s Gewinnwahrscheinlichkeit ist also in der ersten Runde doppelt so groß wie L.s, also auch in jeder Runde, also auch insgesamt. Es folgt P(M)=2/3 , P(L)=1/3.

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@hj2166

Geniale Lösung!

@ggT22

Wo welchem erste Treffer gehst du?

Wann soll der eintreten?

Das weiß man ja nicht. Vielleicht trifft sie ja erst beim 1000. Wurf.

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Nochmal zur Verdeutlichung :

Wenn man das Spiel aufschlüsselt nach "Erste Runde" und "Rest", dann sieht man, dass der gesamte (unendliche) Baum eine Kopie seiner selbst enthält :

Demzufolge ist P(L) = 5/6*1/10 + 5/6*9/10*P(L) , also P(L) = 5/60 + 45/60*P(L) und somit 15/60*P(L) = 5/60 und schließlich P(L) = 5/15 = 1/3.

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Und da fiel es ihnen wie Schuppen von den Augen!

Wer kann, der kann! Zweites Chapeau heute!

An Ihrer Kompetenz habe ich nie gezweifelt, nur der modus explicandi ist

sehr gewöhnungsbedürftig.

Gut, dass Sie auch anders können, wenn Sie wollen.