Zeige dass für zwei komplexe Zahlen folgende Ungleichung gilt

Question

Aufgabe:

Zeige dass für zwei komplexe Zahlen z1=a + ib und z2=x+iy mit a,b,x,y $$\in \mathbb{R}$$ folgende Ungleichung gilt

$$max\{|a-x|, |b-y|\} \leq |z1-z2|$$

Problem/Ansatz:

$$|x| = \sqrt{x^2} \leq \sqrt{x^2+y^2}= |z|$$

$$|y| =\sqrt{y^2} \leq \sqrt{x^2+y^2}= |z|$$

Ich komme aber nicht weiter. Kann mir jemand helfen?

Comments

Wende Deine Überlegungen auf z:=z1-z2 an

Answer 1

$$z_1 - z_2 = (a-x)+i(b-y)$$$$|z_1 - z_2|^2 = (a-x)^2 + (b-y)^2 \geq (a-x)^2 \quad (1)$$$$|z_1 - z_2|^2 = (a-x)^2 + (b-y)^2 \geq (b-y)^2 \quad (2)$$$$(1),(2) \Rightarrow $$$$|z_1 - z_2| \geq |a-x| \quad (3)$$$$|z_1 - z_2| \geq |b-y| \quad (4)$$$$(3),(4) \Rightarrow$$$$ |z_1 - z_2| \geq \max(|a-x|,|b-y|)$$

Answer 2

Sei \(z_3 = a + \mathrm{i}y\). Dann ist \(|a-x| = |z_3 - z_2|\) und \(|b-y| = |z_1- z_3|\). Dann Satz des Pythagoras.

Comments

Hallo oswald. Ich sehe nicht ganz, wie ich aus den gegebenen Informationen den Satz des Pythagoras anwenden soll

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Zeichne \(z_1\), \(z_2\) und \(z_3\) in der gaußschen Zahlenebene ein.