Vollst. ONS beweisen in L^2

Question

Hallo zusammen, ich habe Schwierigkeiten diese Aufgabe zu verstehen:

Ich habe ONS (v_n)_n∈ℕ in dem Raum L²(I,ℂ) wobei I⊆ℂ ist.

Zeige: ONS (v_n) ist vollst. ⇔ ∀g,h∈L²(I,ℂ): <g,h>=∑_j=1^∞ g_j h_j

wobei h komplex konjugiert ist(ich habe hier Probleme mit der Eingabe).

Äquivalenzen zu vollständigem ONS haben wir im Skript: ∀f∈L²(I,ℂ): ∑|f_j|² = ||f||²₂ und eine weitere: (∀n∈ℕ: f_n=0)⇒f=0 wobei f_n hier der n-te Fourrierkoeffizient von f ist.

Ich habe schon rumprobiert aber leider kam ich auf keinen grünen Zweig….

Kann mir hier bitte jemand helfen?

Vielen Dank schonmal!

Comments

Und wie ist "vollständiges ONS" definiert?

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Vollst. ONS: f.a. f∈L²(I,ℂ): Σ |f_j|² = ||f||²₂

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Das hast du oben als "Äquivalenz" zur Definition eingestuft??

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Entschuldige, da bin ich wohl etwas durcheinander gekommen, weil wir eben mehrere Definitionen haben.

Ich habe es auch eben versucht mit dieser Definition zu beweisen bzw. umzuformen aber irgendwie klappt es nicht. Denkst du, dass ich mit der oben genannten Definition wirklich auf ein Ergebnis komme?