Bestimme a so, dass die Nullstellen den Abstand 4 haben.

Question

Aufgabe:

f(x) = -x² +ax -2

Bestimme a so, dass die Nullstellen den Abstand 4 haben.

Problem/Ansatz:

Als erstes die Nullstellen in Abhängigkeit von a bestimmen. Für den Abstand die eine von der anderen subtrahieren und dies muss I4I ergeben?

Ich probiere die ganze Zeit herum, aber komme weder selber auf die Nullstellen noch schaffe ich es den Wert für a zu berechnen, wenn ich mir die Nullstellen ausrechnen lasse.

Comments

Nullstellen sind nach der Mitternachtsformel

$$ x_{1,2} = \frac{a\pm\sqrt{a^2-8}}{2} = \frac{a}{2} \pm\frac{\sqrt{a^2-8}}{2} $$

Also

$$ 4= x_2-x_1 = \sqrt{a^2-8}$$

Answer 1

Hallo,

die Nullstellen sind

\(-x^2+ax-2=0\\ x^2-ax+2=0\\ x_{1,2}=0,5a\pm\sqrt{0,25a^2-2}\)

Der Abstand ist die Differenz, also

\(0,5a-\sqrt{0,25a^2-2}-(0,5a+\sqrt{0,25a^2-2})=4\\ 0,5a-\sqrt{0,25a^2-2}-0,5a-\sqrt{0,25a^2-2}=4\\ -2\sqrt{0,25a^2-2}=4\\ \sqrt{0,25a^2-2}=-2\\ 0,25a^2-2=4\\ 0,25a^2=6\\ a^2=24\\ a\approx \pm4,9 \)

Mache noch die Probe.

Gruß, Silvia

Answer 2

\(f(x) = -x^2 +a*x -2\)

Bestimme a so, dass die Nullstellen den Abstand 4 haben.

\( -x^2 +a*x -2=0\)

\( x^2 -a*x =-2\)

\( (x -\frac{1}{2}a)^2 =-2+\frac{1}{4}*a^2\)

1.)

\( x -\frac{1}{2}a =\sqrt{\frac{1}{4}*a^2-2}\)

\( x_1 = \frac{1}{2}a+\sqrt{\frac{1}{4}*a^2-2}\)

2.)

\( x -\frac{1}{2}a =-\sqrt{\frac{1}{4}*a^2-2}\)

\( x_2 = \frac{1}{2}a-\sqrt{\frac{1}{4}*a^2-2}\)

\(x_2-x_1=\frac{1}{2}a-\sqrt{\frac{1}{4}*a^2-2}-( \frac{1}{2}a+\sqrt{\frac{1}{4}*a^2-2})=4\)

\(\sqrt{\frac{1}{4}*a^2-2}=-2\)

\(\frac{1}{4}*a^2-2=4\)

\(a^2=24\)  →\(a_1= \sqrt{24} \)   →\(a_2= -\sqrt{24} \)

1.) \(f(x) = -x^2 +\sqrt{24} *x -2\)

2.) \(g(x) = -x^2 -\sqrt{24} *x -2\)

Answer 3

Die Funktion $$f(x) = -x^{2} +ax -2 = -\left(x^2-ax+2\right)$$ besitzt ggf. die Nullstellen $$x_{1,2}=\dfrac{a}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2-2}.$$ Darin beschreibt der Term vor der Wurzel die Mitte zwischen den beiden Nullstellen und der Wurzelterm selbst ihren halben Abstand. Soll dieser \(4\) betragen, so muss die Gleichung $$\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2-2}=2$$ erfüllt werden. Das führt nach schrittweisem Auflösen zu $$a=\sqrt{24}=2\cdot\sqrt{6}.$$