Für welche Richtung ist die Richtungsableitung maximal?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Fläche \( F: z=f(x, y)=3 x^{2} y+x y^{2}-\frac{2}{x y^{2}} \).

(a) Wie lautet die Richtungsableitung von \( f \) im Punkt \( (2,-1,-11) \) in Richtung \( \left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -2\end{array}\right) ? \)

(b) Für welche Richtung ist die Richtungsableitung an der Stelle \( (-2,1) \) maximal?

Problem/Ansatz:

Bei der b) muss ich die Stelle (-2,1) nur in den Gradienten einsetzen, weil der immer die Richtung mit der maximalen Steigung angibt oder?

Und wenn ja, warum ist nur eine Stelle mit (x,y) gegeben und nicht mit (x,y,z)?

Der Gradient ist doch mit z zu bilden oder?

Dann müsste ich bei der b) den Gradienten ohne z betrachten richtig?

Schonmal danke im Voraus :)

Comments

HALLO

z ist doch immer gegeben als f(x,y)

lul

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Ja genau, aber in der b) ist ja nur ein Punkt mit (x,y) gegeben.

Den Gradienten bildet man aber doch, indem man aus z=f(x,y)=3x^2 + xy^2-2/(xy^2)

f(x,y,z)= 3x^2 + xy^2-2/(xy^2)-z macht und dann die jeweilige partielle Ableitung bildet, woraus man dann den Gradienten mit (f_x(x,y,z),f_y(x,y,z),f_z(x,y,z)) bildet oder?

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Ist denn 9/2 bei der a richtig? Das würde ja schonmal klären, ob ich das verstanden habe, wie das unser Prof macht

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Denn für die Richtungsableitung brauche ich doch einen Gradienten, der x,y und z besitzt, weil die Richtung auch x,y und z als Komponenten hat. Aber bei der b) sind es nur noch x und y. Das ist das, was mich verwirrt.

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Es sollten 7/6 sein. Sry

Answer 1

Bei der b) muss ich die Stelle (-2,1) nur in den Gradienten einsetzen, weil der immer die Richtung mit der maximalen Steigung angibt oder?

Ja.

Und wenn ja, warum ist nur eine Stelle mit (x,y) gegeben

Stellen sind das was du in die Funktion eingibst um Werte zu berechnen.

Die Nullstelle der Funktion \(g(x) = 2x-6\) ist 3, nicht \((3,0)\).

(a) Wie lautet die Richtungsableitung von \(f\) im Punkt \((2,−1,−11)\)

Die Frage impliziert, dass \(f\) an der Stelle \((2,-1)\) den Funktionswert \(-11\) hat (a.k.a \(f(2,-1)=11\)).

Comments

Sind 7/6 für die a) richtig?

Und für die b) (-21/2,6)?