Von einem Punkt F im Abschnitt AS aus soll ein geradliniger Entlüftungsschacht gebaut...

Question

Tunnelbohrung Zwei Bergdörfer sollen durch einen Straßentunnel miteinander verbunden werden. Dafür wird ausgehend von einem Punkt \( \mathrm{A}(1|2|0,5) \) in der Nähe des einen Dorfes ein Stollen in Richtung \( \mathrm{P}(9|6|1.5) \) vorwärtsgetrieben. Gleichzeit erfolgt ein Stollenbau ausgehend vom Punkt B \( (10|5|0,75) \) in Richtung \( Q(-5|2|1,5) .1 \) LE entspricht \( 1 \mathrm{~km} \) in der Realität.

a) Geben Sie je eine Geradengleichung für die beiden Stollen des Tunnels an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der beiden Stollen.

b) Ermitteln Sie die Gesamtlänge des geplanten Tunnels (Summe der Länge der beiden Stollen AS und SB) in Kilometern.

c) Von einem Punkt \( \mathrm{F} \) im Abschnitt AS aus soll ein geradliniger Entlüftungsschacht gebaut werden, der im Punkt L(3|2|2,5) aus dem Bergmassiv ins Freie mündet. Dieser Schacht soll möglichst kurz sein. Ermitteln Sie die Koordinaten von \( \mathrm{F} \). Zeigen Sie, dass \( F \) tatsächlich innerhalb des Tunnelabschnitts AS liegt. Berechnen Sie die Länge des Schachtes in Metern. [Kontrollergebnis: \( \left.\mathrm{F}\left(\frac{25}{9}\left|\frac{26}{9}\right| \frac{13}{18}\right)\right] \)

d) Der Verlauf des Bergmassivs in der Umgebung des Punktes \( L \) kann durch die Ebenengleichung \( \mathrm{E}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{r}3 \\ 2,5\end{array}\right)+\mathrm{v}\left(\begin{array}{l}9 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)+\mathrm{w}\left(\begin{array}{c}3 \\ -4 \\ -1\end{array}\right), \mathrm{v}, \mathrm{w} \in \mathbb{R} \) beschrieben werden.

Geben Sie eine Normalenform für \( \mathrm{E} \) an und bestimmen Sie die GrởBe des (spitzen) Winkels, den der Schacht FL mit dem Bergmassiv bildet.

e) Während des Baus wird bemerkt, dass der Tunnelvortrieb vom Punkt B aus nicht exakt gemäB der vorgegebenen Geradengleichung erfolgte, sondern in Richtung \( \overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(\begin{array}{r}-16 \\ -4 \\ 1\end{array}\right) \)

Zeigen Sie, dass die beiden Stollen sich verfehlen, wenn man in dieser falschen Richtung weiterbauen würde. Stellen Sie fest, in welchem Abstand die beiden Geraden, auf denen die Stollen vorangetrieben werden, aneinander vorbei gehen würden.

Aufgabe a und b sind klar. Alledings habe ich keine Ahnung wie ich Aufgabe c angehen soll.

Meine Lösung zu Aufgabe a und b:

\( g_{A P}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0,5\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}8 \\ 4 \\ 1\end{array}\right) \)
\( g_{B Q}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}10 \\ 5 \\ 0.7\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-1,5 \\ -3 \\ 0,75\end{array}\right) \)
\( \rightarrow S(5|4| 1) \)
b) \( \overrightarrow{A S}|+| \overrightarrow{S B} \mid \approx 9,61 \mathrm{~km} \)

Answer 1

gAP: [1, 2, 0.5] + r·([9, 6, 1.5] - [1, 2, 0.5]) = [1, 2, 0.5] + r·[8, 4, 1]

gBQ: [10, 5, 0.75] + s·([-5, 2, 1.5] - [10, 5, 0.75]) = [10, 5, 0.75] + s·[-15, -3, 0.75]

Schnittpunt gAP = gBQ

[1, 2, 0.5] + r·[8, 4, 1] = [10, 5, 0.75] + s·[-15, -3, 0.75]
r = 1/2 ∧ s = 1/3

S = [1, 2, 0.5] + 1/2·[8, 4, 1] = [5, 4, 1]

gAS: [1, 2, 0.5] + r·([5, 4, 1] - [1, 2, 0.5]) = [1, 2, 0.5] + r·[4, 2, 0.5] = [4·r + 1, 2·r + 2, 0.5·r + 0.5]


d^2 = ([4·r + 1, 2·r + 2, 0.5·r + 0.5] - [3, 2, 2.5])^2 = 20.25·r^2 - 18·r + 8

d^2' = 40.5·r - 18 = 0
r = 4/9

F = [1, 2, 0.5] + 4/9·[4, 2, 0.5] = [25/9, 26/9, 13/18]

Da 0 < r < 1 ist F im Bereich von AS.

Comments

Danke :)

Ist die Länge jetzt der Betrag von LF, oder wie berechnet man die Länge des Schachtes bitte?

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d^2 ist die Länge ins Quadrat. Also dort einsetzen und noch die Wurzel ziehen.